Ensino Médio ⇒ Esferas - Cunha Esférica Tópico resolvido

[AnaRaft]

De uma esfera de raio 10 cm retira-se uma cunha de 30°. Pretende-se colorir a superfície dessa cunha. Calcule o volume de tinta necessário, em litros, sabendo que se gasta 1 cm³ por cm² da superfície. Considere π = 3.

{Observações}

Tentei resolver de vários jeitos, mas não consegui, o resultado sempre dá 0,33... Litros. No entanto o livro aponta como resposta 0,4 L.

[VALDECIRTOZZI]

Considere a figura:

cunha.jpg (5.98 KiB) Exibido 8728 vezes

Note que a cunha esférica é composta de uma "casca" (que é o fuso), parte em azul claro e duas faces, em azul escuro.
A área superficial da cunha será:

[tex3]A_{cunha}=A_{casca}+2 \cdot A_{face}[/tex3]

Lembremos que a área superficial da esfera é dada por:

[tex3]A_{superficial}= 4 \cdot \pi \cdot R^2[/tex3]

Como o ângulo da cunha é [tex3]30^o[/tex3], a a´rea em azul escuro será:

[tex3]A_{casca}=\frac{30^o \cdot 4\cdot \pi \cdot R^2}{360}=\frac{30^o \cdot 4\cdot 3 \cdot 10^2}{360}=100 \ cm^2[/tex3]

A face, em azul claro, é uma semi circunferência de raio 10 cm e como há duas faces em azul claro, sua área será a mesma de uma circunferência de raio 10 cm.

[tex3]A_{total \ das \ faces}=\pi \cdot R^2= 3 \cdot 10^2=300 \ cm^2[/tex3]

Logo a área da cunha será: 100 + 300 = 400 cm².

Necessito, então de 400 cm³ de tinta ou 0,4 litros para sua pintura.

Espero ter ajudado!