Ensino Médio ⇒ Circunferência e pontos não diametralmente opostos

[VitorMald]

Olá Galera.

Estou com dúvida em como fazer a seguinte questão;

Seja C uma circunferência, A e B pontos não diametralmente opostos sobre C. De A e B traçam-se as tangentes á C que se encontram em Q. No arco maior AB toma-se um ponto P de forma que as distâncias de P ás retas QA e QB são de 3 e 12 respectivamente. Determine a distância de P á AB:

(A) 15/2
(B) 9
(C) 6
(D) 4
(E) Só é possível determinar se for dado o raio de C.

Obrigado

[VitorMald]

@VitorMald,
[tex3]d_1[/tex3]: a distância de P à reta tangente QA ([tex3]d_1[/tex3] = 3).
[tex3]d_2[/tex3]: a distância de P à reta tangente QB ([tex3]d_2 [/tex3]= 12).
[tex3]d_3[/tex3]: a distância de P à corda AB
Teorema:Para qualquer ponto P no arco da circunferência, o quadrado da distância de P à corda que une os pontos de tangência é igual ao produto das distâncias de P às retas tangentes.Ou seja:[tex3](d_3)^2 = d_1 \cdot d_2[/tex3]
Substituindo os valores fornecidos no enunciado:[tex3](d_3)^2 = 3 \cdot 12 = 36\\d_3 = \sqrt{36}~\therefore \boxed{d_3 = 6_{//}}[/tex3]

Demonstração do teorema: viewtopic.php?t=77099