IME / ITA ⇒ (ITA - 1998) Funções Trigonométricas Tópico resolvido

[triplebig]

Seja [tex3]f: \Re\,\rightarrow\,\Re[/tex3] a função ndefinida por [tex3]f(x)\,=\,2\,\text{sen}\,2x\,-\,\cos\,2x[/tex3]. Então:

a) [tex3]f[/tex3] é ímpar e periódica de período [tex3]\pi[/tex3]

b) [tex3]f[/tex3] é par e periódica de período [tex3]\Large\frac{\pi}{2}[/tex3]

c) [tex3]f[/tex3] não é nem par nem ímpar e é periódica de período [tex3]\pi[/tex3]

d) [tex3]f[/tex3] não é par e é periódica de período [tex3]\Large\frac{\pi}{4}[/tex3]

e) [tex3]f[/tex3] não é ímpar e nem periódica

Agradeço desde já a ajuda

[Thales Gheós]

Uma função é pae se [tex3]f(x)=f(-x)[/tex3]

[tex3]\sen (-2x)=-\sen (2x)\\cos(-2x)=\cos (2x)[/tex3]

[tex3]{}2\sen (-2x)-\cos (-2x)=-2\sen (2x)-\cos (2x)\\ \rightarrow{}f(x)\neq{}f(-x)\,\rightarrow\text {f(x) nao é par}[/tex3]

Uma função é ímpar se [tex3]f(x)=-f(-x)[/tex3]

[tex3]{}-(2\sen (-2x)-\cos (-2x))=2\sen (2x)+\cos (2x)\\ \rightarrow{}f(x)\neq{}-f(-x)\,\rightarrow\text{ f(x) nao é impar}[/tex3]

e agora o que é pior...

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tem período igual a [tex3]\pi[/tex3].

[triplebig]

Não existe outra saída para achar o período sem ser traçando o gráfico da função?

[Karl Weierstrass]

Seja [tex3]y\,=\,a\,\text{sen}\,(bx\,+\,c).[/tex3]

Segue que

• [tex3]y\,=\,a\,\text{sen}\,bx\cos\,c\,+\,a\,\text{sen}\,c\,\cos\,bx.[/tex3]

Fazendo [tex3]p\,=\,a\,\text{sen}\,c\,\,\,\text{e}\,\,\, q\,=\,a\,\cos\,c,[/tex3] vem

• [tex3]y\,=\,q\,\text{sen}\,bx\,+\,p\,\cos\,bx.[/tex3]

Para [tex3]f(x)\,=\,2\,\text{sen}\,2x\,-\,\cos\,2x[/tex3] temos [tex3]q\,=\,2,\, p\,=\,-1 \,\,\text{e}\,\, b\,=\,2.[/tex3]

Segue que [tex3]a\,=\,\sqrt{p^2\,+\,q^2}\,=\,\sqrt{5}.[/tex3]

Portanto, [tex3]f(x)\,=\,\sqrt{5}\,\text{sen}\,(2x\,+\,c)[/tex3] e o período de [tex3]f[/tex3] é [tex3]\Large\frac{P_0}{|b|}\large\,=\,\Large\frac{2\pi}{2}\large\,=\,\pi.[/tex3]









[tex3]\,[/tex3]

[Thales Gheós]

Beleza Karl! e muito útil. Obrigado.