Pré-Vestibular ⇒ (ITAJUBÁ - 1977) Potenciação e Produtos Notáveis Tópico resolvido

[claudiomarianosilveira]

Calcular o valor da expressão [tex3]5^{3x}+5^{-3x},[/tex3] sabendo que [tex3]5^x+5^{-x}=5.[/tex3]

[Natan]

Primeiro vamos elevar ambos os lados da equação dada ao cubo:

• [tex3](5^{x}+5^{-x})^3=5^3[/tex3]
  
  [tex3](5^{x}+\frac{1}{5^{-x}})^3=5^3[/tex3]
  
  [tex3]5^{3x}+3\cdot 5^{2x}\cdot \left(\frac{1}{5^x}\right)+3\cdot 5^x\cdot \left(\frac{1}{5^{2x}}\right)+\left(\frac{1}{5^{3x}}\right)=125[/tex3]
  
  [tex3]5^{3x}+3\cdot 5^x+3\cdot 5^{-x}+5^{-3x}=125[/tex3]
  
  [tex3]5^{3x}+3\cdot (5^x+5^{-x})+5^{-3x}=125[/tex3]
  
  [tex3]5^{3x}+3\cdot \left(\frac{5^{2x}+1}{5^x}\right)+5^{-3x}=125[/tex3]
  
  [tex3]5^{3x}+3\cdot 5^x\cdot \left(\frac{5^x+5^{-x}}{5^x}\right)+5^{-3x}=125[/tex3]
  
  [tex3]5^{3x}+3\cdot (5^x+5^{-x})+5^{-3x}=125[/tex3]

Substituindo [tex3]5^x+5^{-x}=5[/tex3]

• [tex3]5^{3x}+3\cdot 5+5^{-3x}=125[/tex3]
  
  [tex3]5^{3x}+15+5^{-3x}=125[/tex3]
  
  [tex3]5^{3x}+5^{-3x}=110[/tex3]