Ensino Superior ⇒ Derivada de ordem n em Séries de Taylor:

[Pinduca]

Bom dia, pessoal! Estou com dúvida no seguinte exercício:

Considere a seguinte representação:

lnx = somatório com n indo de 1 até infinito de [(-1)^(n-1)/n]*(x-1)^n, com 0<x<2

a) encontre uma representação em série para f(x)=ln(1+2x^2)

b) derivada de ordem 8 de f em torno de 0.

A dúvida realmente é na letra b, pois o resultado dado na lista é -4*8! e não consigo achá-lo. Coloquei a letra porque suponho que a derivada
pedida é referente a f encontrado ao fim dela.
Desculpe a forma rudimentar de escrita, mas não tô sabendo colocar bonitinho aqui.

[MPSantos]

Uma série de Taylor, centrada em [tex3]x=0[/tex3], é uma série de funções da seguinte forma:

[tex3]f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-0)^n\quad\mbox{na qual } a_n = \frac{f^{(n)}(0)}{n!}[/tex3].

[tex3]\ln(x) = \sum^{\infty}_{n=1} \frac{(-1)^{n-1}}{n} (x-1)^{n}\quad\mbox{ para } \left| x-1 \right| < 1[/tex3]

a) Encontre uma representação em série para [tex3]f(x)=ln(1+2x^2)[/tex3]:

Usando o desenvolvimento de [tex3]f(x)=ln(x)[/tex3], então [tex3]f(x)=ln(1+2x^2)= \sum^{\infty}_{n=1} \frac{(-1)^{n-1}}{n} ((1+2x^2)-1)^{n}= \sum^{\infty}_{n=1} \frac{(-1)^{n-1}}{n} (2x^2)^{n}= \sum^{\infty}_{n=1} \frac{(-1)^{n-1}}{n} 2^{n}x^{2n}[/tex3]

b) Derivada de ordem 8 de [tex3]f(x)[/tex3] em torno de 0.

Uma série de Taylor é uma série de funções da seguinte forma:

[tex3]f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-a)^n\quad\mbox{na qual } a_n = \frac{f^{(n)}(a)}{n!}[/tex3].

E como

[tex3]f(x) = \sum^{\infty}_{n=1} \frac{(-1)^{n-1}}{n} 2^{n}x^{2n}[/tex3]

Quando [tex3]n=4[/tex3] temos o termo [tex3]\frac{(-1)^{4-1}}{4} 2^{4}x^{8}[/tex3], ou seja, tem a ver com o termo [tex3]x^{8}[/tex3], que corresponde ao termo de ordem [tex3]8[/tex3], que é o que nos interessa.

Assim:

[tex3]\frac{f^{(8)}(0)}{8!}=\frac{(-1)^{4-1}}{4} 2^{4}[/tex3]

[tex3]f^{(8)}(0)=\frac{(-1)^{3}}{4} 2^{4}8![/tex3]

[tex3]f^{(8)}(0)=-\frac{16 \times 8!}{4}[/tex3]

[tex3]f^{(8)}(0)=-4 \times 8![/tex3]

Espero ter ajudado. Cumprimentos.