Ensino Superior ⇒ Transformada de Laplace

[Rafaelje]

Usando a transformada de Laplace, resolva a seguinte equação diferencial linear de 2º ordem, não homogênea ,com as condições iniciais

[tex3]y'' (t) - y (t) = e^{2 dt }[/tex3], com [tex3]y(0)=0[/tex3] e [tex3]y' (0)=1[/tex3]

Informações que podera usar:

1)[tex3](k)=\frac{k}{s}[/tex3]

2)[tex3](e^{dt})=\frac{1}{s - a}[/tex3]

3)[tex3]( y' (t))= sY (s) - y(0)[/tex3]

4) [tex3](y''(t))=s^{2} Y (s)- s\cdot y(0) - y' (0)[/tex3]

[poisedom]

[tex3]y'' (t) - y (t) = e^{2t }[/tex3]
aplicando a transformada de laplace
[tex3]s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)-Y(s)=\frac{1}{s-2}[/tex3]
[tex3](s^2-1)Y(s)-s\cdot0-1=\frac{1}{s-2}[/tex3]
[tex3](s^2-1)Y(s)=\frac{1}{s-2}+1[/tex3]
[tex3](s^2-1)Y(s)=\frac{1+s-2}{s-2}[/tex3]
[tex3](s^2-1)Y(s)=\frac{s-1}{s-2}[/tex3]
[tex3]Y(s)=\frac{s-1}{(s^2-1)(s-2)}[/tex3]
[tex3]Y(s)=\frac{s-1}{(s+1)(s-1)(s-2)}[/tex3]
[tex3]Y(s)=\frac{1}{(s+1)(s-2)}[/tex3]

usando frações parciais temos

[tex3]Y(s)=\frac{\frac{1}{3}}{(s-2)}+\frac{\left(-\frac{1}{3}\right)}{(s+1)}[/tex3]

agora utilizando a transformada inversa de laplace

[tex3]y(t)=\frac{1}{3}e^{2t}-\frac{1}{3}e^{-t}[/tex3]