Ensino Superior ⇒ Cônicas / Rotação e Translação Tópico resolvido

[brunofraga100]

Identificar a cônica , reduzir a equação à sua forma canônica por translação de coordenadas

EQUAÇÃO
8x² + 4xy + 5y² - 18x + 36y + 45 = 0

[undefinied3]

Eu não sei qual método você costuma usar para fazer a rotação, translação, etc, mas o método que eu vou usar (que julgo ser o mais rápido, comparado a outros que precisa ficar usando matrizes e desenvolvendo produtos enormes) está perfeitamente explicado aqui:
http://www.rumoaoita.com/site/attachmen ... ascap4.pdf

Indo para a resolução:
Começaremos pela translação, que consiste em remover os termos lineares. Para fazer isso, podemos encontrar o centro da cônica resolvendo o seguinte sistema:
[tex3]\begin{cases}
\frac{\partial f}{\partial x}=0 \rightarrow 16x+4y-18=0 \\
\frac{\partial f}{\partial y}=0 \rightarrow 4x+10y+36=0
\end{cases}[/tex3]
A solução será as coordenadas do centro, que neste caso é [tex3](\frac{9}{4},-\frac{9}{2})[/tex3]. Colocando esses valores na equação da cônica, encontraremos um valor V tal que a cônica pode ser reduzida à [tex3]8x^2+4xy+5y^2+T=0[/tex3].
[tex3]8.\frac{81}{16}-4.\frac{9}{4}.\frac{9}{2}+5.\frac{81}{4}-18.\frac{9}{4}-36.\frac{9}{2}+45=T[/tex3]
[tex3]T=\frac{81}{2}-\frac{81}{2}+\frac{405}{4}-\frac{162}{4}-\frac{324}{2}+45=-\frac{225}{4}[/tex3]

Portanto, através de uma translação, podemos reajustar nossa cônica para
[tex3]8x^2+4xy+5y^2-\frac{225}{4}=0[/tex3]
Resta rotacioná-la. Para isso, vamos utilizar do fato que, em uma cônica qualquer [tex3]A x^2 + B x y +C y^2+ D=0[/tex3], a soma [tex3]A +C[/tex3] e [tex3]B^2-4AC[/tex3] é constante, mesmo após realizar uma rotação ou translação. As provas estão no link que postei caso você precise.
Assim, após uma rotação, queremos ter [tex3]B'=0[/tex3] e precisamos encontrar os novos coeficientes [tex3]A'[/tex3] e [tex3]C'[/tex3]. Isso pode ser feito resolvendo o seguinte sistema:
[tex3]\begin{cases}
A'+C'=A+C \rightarrow A'+C' = 8+5 \\
B'^2-4A'C'=B^2-4AC \rightarrow -4A'C'=16-4.8.5
\end{cases}[/tex3]
Portanto:
[tex3]\begin{cases}
A'+C' = 13 \\
A'C'=36
\end{cases}[/tex3]
Veja que [tex3]A'[/tex3] e [tex3]C'[/tex3] são soluções da equação de segundo grau [tex3]t^2-13t+36=0[/tex3], de onde tiramos as raízes 4 e 9. Assim podemos escrever nossa cônica como:
[tex3]4x^2+9y^2-\frac{225}{4}=0 \rightarrow 16x^2+36y^2=225[/tex3]
Note que poderíamos inverter os coeficientes, colocando 4 no y e 9 no x, isso só significaria que realizamos uma rotação em outro sentido. Terminando as contas:
[tex3]16x^2+36y^2=225 \rightarrow \frac{16x^2}{225}+\frac{36y^2}{225}=1 \rightarrow \frac{x^2}{\frac{225}{16}}+\frac{y^2}{\frac{225}{36}}=1[/tex3]
Trata-se de uma elipse de semi-eixos [tex3]15/4[/tex3] e [tex3]15/6[/tex3] e centro [tex3](\frac{9}{4},-\frac{9}{2})[/tex3]