Ensino Superior ⇒ Cônicas - Hipérbole Tópico resolvido

[brunofraga100]

Identificar a cônica , reduzir a equação à sua forma canônica por translação de coordenadas

EQUAÇÃO

3x² - 12xy - 13y²- 18x + 6y + 72 = 0

[undefinied3]

Translação:

[tex3]\begin{cases}
\frac{\partial f}{\partial x}=0 \rightarrow 6x-12y-18=0 \\
\frac{\partial f}{\partial y}=0 \rightarrow -12x-26y+6=0
\end{cases}[/tex3]

C:[tex3](\frac{9}{5},-\frac{3}{5})[/tex3]

Substituindo em [tex3]3x^2-12xy-13y^2-18x+6y+72[/tex3], encontramos 54, então podemos reduzir a cônica à:

[tex3]3x^2-12xy-13y^2+54=0[/tex3]

Realizando a rotação:

[tex3]\begin{cases}
A'+C'=3-13=-10 \\
-4A'C'=144-4.3.(-13) \rightarrow A'C'=-75
\end{cases}[/tex3]

[tex3]k^2 + 10k - 75=0[/tex3]
[tex3]k_1=5[/tex3], [tex3]k_2 = -15[/tex3]

Então podemos escrever:

[tex3]5x^2-15y^2+54=0 \rightarrow 15y^2-5x^2=54 \rightarrow y^2-\frac{x^2}{3}=\frac{18}{5}[/tex3]