Ensino Médio ⇒ Razões e Proporções: Misturas

[jose carlos de almeida]

Uma mistura possui os componentes [tex3]A[/tex3] e [tex3]B[/tex3] na razão [tex3]3:5,[/tex3] uma segunda mistura possui os componentes [tex3]B[/tex3] e [tex3]C[/tex3] na razão [tex3]1:2[/tex3] e uma terceira mistura possui os componentes [tex3]A[/tex3] e [tex3]C[/tex3] na razão de [tex3]2:3.[/tex3] Em que razão devemos combinar a primeira, segunda e terceira misturas para que os componentes apareçam na razão [tex3]3:5:2 ?[/tex3]

[paulo testoniMOD]

Hola.

Vamos fazer a composição com:

• [tex3]x[/tex3] partes de [tex3]A/B:3/5[/tex3]
  [tex3]y[/tex3] partes de [tex3]B/C :1/2[/tex3]
  [tex3]z[/tex3] partes de [tex3]A/C : 2/3[/tex3]

e teremos uma composição com:

• [tex3]A \Rightarrow 3x+2z[/tex3] partes

• [tex3]B \Rightarrow 5x+y[/tex3] partes

• [tex3]C \Rightarrow 2y+3z[/tex3] partes

as relações deverão ser:

• [tex3]\frac{A}{B}= \frac{3x+2z}{5x+y} = \frac{3}{5} \text{ (1)} \\
  \frac{B}{C} = \frac{5x+y}{2y+3z} = \frac{5}{2} \text{ (2)} \\
  \frac{A}{C} = \frac{3x+2z}{2y+3z} = \frac{3}{2} \text{ (3)}[/tex3]

arrumando essas equações ficamos com:

• [tex3]10z=3y \text{ (1)} \\
  10x=15z+8y \text{ (2)}\\
  6x=6y+5z \text{ (3)}[/tex3]

de [tex3](1)[/tex3] tiramos: [tex3]z=\frac{3y}{10}[/tex3] e substituindo nas outras encontramos uma relação para [tex3]x[/tex3] e [tex3]y:[/tex3] [tex3]x=\frac{5y}{4}.[/tex3] Temos agora

• [tex3]z=\frac{3y}{10}\\
  x=\frac{5y}{4}[/tex3]

isso mostra que atribuindo um valor, para [tex3]y[/tex3] por exemplo, encontramos [tex3]x[/tex3] e [tex3]z,[/tex3] o que nos fala de muitas soluções possíveis. Vamos tentar os menores valores fazendo [tex3]y=4,[/tex3] então

• [tex3]y=4 \\
  x=5 \\
  z=1,2[/tex3]

resta testar esses valores:

• [tex3]\frac{A}{B} = \frac{3x+2z}{5x+y} = \frac{3.5+2.1,2}{5.5+4}=\frac{17,4}{29}=\frac{3}{5}[/tex3] confere com o solicitado
  [tex3]\frac{B}{C} =\frac{5x+y}{2y+3z} =\frac{5.5+4}{2.4+3.1,2} =\frac{29}{11,6}=\frac{5}{2}[/tex3] confere com o solicitado
  [tex3]\frac{A}{C}= \frac{3x+2z}{2y+3z} =\frac{17,4}{11,6} = \frac{3}{2}[/tex3] confere com o solicitado

Então, finalmente:

• [tex3]5[/tex3] partes da solução [tex3]A/B[/tex3]
  [tex3]4[/tex3] partes da solução [tex3]B/C[/tex3]
  [tex3]1,2[/tex3] partes da solução [tex3]A/C[/tex3]

constituem uma solução do problema!

PS: se quisermos os menores valores inteiros teremos:

• [tex3]25[/tex3] partes da solução [tex3]A/B[/tex3]
  [tex3]20[/tex3] partes da solução [tex3]B/C[/tex3]
  [tex3]6[/tex3] partes da solução [tex3]A/C[/tex3]

Feito por Euclides.

[jose carlos de almeida]

Caro Paulo a resposta que o livro me dá para este problema é: [tex3]20:6:3.[/tex3]
Acho que na formação da composição de cada liga está faltando o valor total das mesmas.
Abraços José Carlos

[sempe]

José, poder-me-ias informar de qual livro retiraste esta questão ?