Ensino Médio ⇒ Descubra a área do triângulo

[Ivo213]

O perímetro de um triângulo retângulo é 90 cm e a altura relativa à hipotenusa mede 18 cm. A medida da área desse triângulo, em centímetros quadrados vale:

a) 337,5
b) 369
c) 382,5
d) 405
e) 427,5

Desde já muito agradecido a quem conseguir resolver.

[paulo testoniMOD]

Hola.

[tex3]a^2 = b^2 + c^2\\
a + b + c = 90\\
h = 18[/tex3]

Das Relações Métricas temos:

[tex3]b*c = h*a \\
b*c = 18*a\\

b + c = 90 - a \\
(b + c)^2 = (90 - a)^2\\
b^2 + c^2 + 2*bc = 8100 - 180*a + a^2\\
a^2 + 2*(18*a) = 8100 - 180*a + a^2\\
216*a = 8100\\
a = \frac{8100}{216}\\
a = 37,5\\

b*c = 18*37,5\\
b*c = 675[/tex3]

Portanto:

[tex3]S = \frac{b*c}{2}\\
S=\frac{675}{2}\\
S=337,5[/tex3]
Letra a.

[Ivo213]

Boa tarde, caro Paulo.
Muito obrigado por resolver essa questão para mim.
Forte abraço,
Ivomilton

[paulo testoniMOD]

Hola abençoado.

Outra forma.

[tex3]a + b + c = 90\ (i)\\
h = 18[/tex3]

Pelas relações métricas do triângulo retângulo, temos:

[tex3]a^2 = b^2 + c^2\ (ii)\\
b*c=a*h \ (iii)\\
b*c = 18*a\ (iv)[/tex3]

De (i), temos:
[tex3]a + b + c = 90\\
b + c = 90 - a[/tex3]

elevando ao quadrado ambos os membros, temos:

[tex3](b + c)^2 = (90 - a)^2\\
b^2 + c^2 + 2*b*c = (90-a)^2\\
mas,\ b^2+c^2 = a^2,\ logo:\\
a^2 + 2*b*c = (90-a)^2\\
mas \ de\ (iv)\ vem\ que: \\
b*c= 18*a,\ portanto:\\
a^2 + 2*b*c = (90-a)^2\\
a^2 + 2*18*a = a^2 - 180*a+8100[/tex3]
reduzindo os termos semelhantes, fica:
[tex3]36*a = -180*a + 8100\\
36*a + 180*a = 8100\\
216*a = 8100\\
a = \frac{8100}{216}\\
a = 37,5[/tex3]

Então:

[tex3]A = \frac{a*h}{2}\\
A = \frac{37,5*18}{2}\\
A = 37,5*9\\
A=337,5[/tex3]
Letra a.