Pré-Vestibular ⇒ (UEFS) Progressão Aritmética

[claudiomarianosilveira]

Considere que [tex3]A =\log_2(5\cdot 2^{x} + 1),[/tex3] [tex3]B = \log_4(2^{1-x} + 1)[/tex3] e [tex3]C = 1,[/tex3] formam nesta ordem, uma progressão aritmética. Determine o valor de [tex3]x.[/tex3]

[Auto Excluído (ID:3002)]

Como [tex3]A =\log_2(5\cdot 2^{x} + 1),[/tex3] [tex3]B = \log_4(2^{1-x} + 1)[/tex3] e [tex3]C = 1[/tex3] formam nesta ordem, uma progressão aritmética temos que:
[tex3]2B=A+C[/tex3]
[tex3]2\log_4(2^{1-x} + 1)=\log_2(5\cdot 2^{x} + 1)+1[/tex3]
[tex3]2 \frac{\log_2(2^{1-x} + 1)}{\log_2(4)}=\log_2(5\cdot 2^{x} + 1)+\log_2(2)[/tex3]
[tex3]\log_2(2^{1-x} + 1)=\log_2[(5\cdot 2^{x} + 1)\cdot 2][/tex3]
[tex3]2 \cdot 2^{-x}+1=10 \cdot 2^x+2[/tex3]
[tex3]10 \cdot 2^x-2 \cdot 2^{-x}+1=0[/tex3]
[tex3]10(2^x)^2+2^x-2=0[/tex3]
Chamando [tex3]y=2^x[/tex3], temos
[tex3]10y^2+y-2=0[/tex3]
Daí, obtemos que [tex3]y=-0,5[/tex3](não convem pois [tex3]y>0[/tex3]) ou [tex3]y=0,4[/tex3].
Assim [tex3]2^x=0,4[/tex3], ou seja, [tex3]x=\log_2(0,4)[/tex3]