Ensino Superior ⇒ Sistemas de coordenadas no plano cartesiano Tópico resolvido

[jpdefo]

Sejam a, b, c, x, y reais diferentes de zero. Mostre que os pontos P=(x,y), Q=(a+x,b+y) e
R=(x−bc,y+ac)são vértices de um triângulo retângulo.


Dica: Mostre que os lados do triângulo PQR satisfazem o teorema de pitágoras

[poisedom]

Resolução por produto escalar

[tex3]\overrightarrow{PQ}=(a+x-x,b+y-y)=(a,b)[/tex3]
[tex3]\overrightarrow{PR}=(x-bc-x,y+ac-y)=(-bc,ac)[/tex3]

como o produto escalar [tex3]\overrightarrow{PQ}\cdot \overrightarrow{PR}=-abc+abc=0[/tex3] logo [tex3]\cos P=90^\circ[/tex3] então o triângulo PQR é retângulo em P
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Resolução por pitágoras

[tex3]d_{PQ}=\sqrt{(a+x-x)^2+(b+y-y)^2}=\sqrt{a^2+b^2}[/tex3]

[tex3]d_{PR}=\sqrt{(x-bc-x)^2+(y+ac-y)^2}=\sqrt{b^2c^2+a^2c^2}=\sqrt{(b^2+a^2)c^2}[/tex3]

[tex3]d_{QR}=\sqrt{(a+x-x+bc)^2+(b+y-y-ac)^2}=\sqrt{(a+bc)^2+(b-ac)^2}=\sqrt{a^2+2abc+b^2c^2+b^2-2abc+a^2c^2}=\sqrt{a^2+b^2+(a^2+b^2)c^2}[/tex3]
[tex3]d_{QR}=\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+1)}[/tex3]

observando os três lados que QR > PR e QR > PQ

então se PQR for retângulo logo deve obedecer o teorema de Pitágoras assim
[tex3]\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+1)}^2=\sqrt{(b^2+a^2)c^2}^2+\sqrt{a^2+b^2}^2[/tex3]
[tex3](a^2+b^2)(c^2+1)=(b^2+a^2)c^2+a^2+b^2[/tex3]
[tex3]a^2c^2+b^2c^2+a^2+b^2=a^2c^2+b^2c^2+a^2+b^2[/tex3]

isso prova que PQR é retângulo em P