Pré-Vestibular ⇒ (FUVEST) Logaritmos e Trigonometria

[claudiomarianosilveira]

[tex3]y= \log \text{tg} 1^\circ + \log \text{tg} 2^\circ + \log \text{tg} 3^\circ + \ldots + \log \text{tg} 89^\circ[/tex3] é igual a:

a) [tex3]0[/tex3]
b) [tex3]1[/tex3]
c) [tex3]44,5[/tex3]
d) [tex3]89[/tex3]
e) [tex3]178[/tex3]

[paulo testoniMOD]

Hola.

Solução:

Da teoria, sabemos que a soma de logaritmos numa mesma base é igual ao logaritmo do produto, ou seja:

• [tex3]\log x + \log y + \ldots + \log z = \log(x.y \cdots z).[/tex3]

Então, poderemos escrever em relação à questão apresentada:

• [tex3]y= \log(\text{tg} 1^\circ \cdot \text{tg}2^\circ \cdot \text{tg}3^\circ \cdots \text{tg}89^\circ).[/tex3]

Sabemos também que se [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] são dois ângulos agudos cuja soma vale [tex3]90^\circ (x+y = 90^\circ ,[/tex3] com [tex3]x[/tex3] diferente de [tex3]0^\circ[/tex3] e [tex3]90^\circ) ,[/tex3] temos que

• [tex3]\text{tg}x \cdot \text{tg} y = 1.[/tex3]

Ex.:

• [tex3]\text{tg}30^\circ \cdot \text{tg}60^\circ = \left(\frac{\sqrt3}{3}\right)\cdot \sqrt{3} = 1;[/tex3] (veja que [tex3]30^\circ+ 60^\circ = 90^\circ) .[/tex3]

Nestas condições, observando detalhadamente a expressão dada, podemos reescrevê-la como:

• [tex3]y = \log [(\text{tg}1^\circ \cdot \text{tg}89^\circ) \cdot (\text{tg}2^\circ \cdot \text{tg}88^\circ) \cdot (\text{tg}3^\circ \cdot \text{tg}87^\circ) \cdots (\text{tg}45^\circ \cdot \text{tg}45^\circ)][/tex3]

Como todos os produtos dos termos entre parênteses são iguais a [tex3]1,[/tex3] teremos:

• [tex3]y = \log(1 \cdot 1\cdot 1\cdots 1) = \log 1[/tex3]

e portanto,

• [tex3]y = 0,[/tex3]

pois sabemos que o logaritmo de [tex3]1[/tex3] em qualquer base é igual a zero. Assim, a resposta certa é a (a).

De acordo com Paulo Marques.

[claudiomarianosilveira]

Muito Obrigado Paulo.