IME / ITA ⇒ (Colégio Naval - 1994) Geometria Plana: Triângulos Tópico resolvido

[Flavio2008]

Qual deverá ser o menor número inteiro que somado a cada um dos números 6 , 8 e 14, obtém-se as medidas dos lados de um triângulo em que o ortocentro está no seu interior ?

a) 9
b) 10
c) 11
d) 12
e) 13

[fabit]

Ortocentro no interior do triângulo se e somente se é acutângulo. Aí temos de ter o quadrado do maior lado sendo menor que a soma dos quadrados dos outros dois:

[tex3](14+n)^2<(6+n)^2+(8+n)^2[/tex3]

[tex3]196+\cancel{28n}+n^2<36+\cancel{12n}+n^2+64+\cancel{16n}+n^2\Rightarrow2n^2-n^2>196-100[/tex3]

[tex3]n^2>96>81[/tex3]

[tex3]n>9.[/tex3] Logo o primeiro que serve é [tex3]n=10.[/tex3]

Prova real: verifique se o triângulo de lados [tex3]24, 16[/tex3] e [tex3]18[/tex3] é acutângulo, sem que [tex3]23, 15[/tex3] e [tex3]17[/tex3] o seja.