Pré-Vestibular ⇒ (FGV) Binômio de Newton Tópico resolvido

[claudiomarianosilveira]

Desenvolvendo-se a expressão [tex3]\left[\left(x + \frac{1}{x}\right)\left(x - \frac{1}{x}\right)\right]^6,[/tex3] obtém-se como termo independente de [tex3]x[/tex3] o valor:

[tex3]\text{a) 10 b) -10 c) 20 d) -20 e) 36}[/tex3]

[Natan]

• [tex3]\left[\left(x + \frac{1}{x}\right)\left(x - \frac{1}{x}\right)\right]^6=\left(x^2 - \frac{1}{x^2}\right)^6[/tex3]

• [tex3]T_{p+1}={6\choose p}\cdot (x^2)^{6-p}\cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right)^p[/tex3]
  
  [tex3]T_{p+1}={6\choose p}\cdot x^{12-2p}\cdot (-1)^p\cdot \frac{1}{x^{2p}}[/tex3]
  
  [tex3]T_{p+1}=(-1)^p\cdot {6\choose p}\cdot x^{12-4p}[/tex3]

Para que tenhamos um termo independente de [tex3]x,[/tex3]

• [tex3]12-4p=0\Longrightarrow p=3[/tex3]

Portanto,

• [tex3]T_{3+1}=(-1)^3\cdot {6\choose 3}=-20[/tex3]