IME / ITA ⇒ (ITA - 2000) Funções Trigonométricas Tópico resolvido

[triplebig]

Considere [tex3]f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}[/tex3] definida por [tex3]f(x)=2\text{sen}3x-\cos \left(\frac{x-\pi}{2}\right)[/tex3]. Sobre [tex3]f[/tex3] podemos afirmar que

a) é uma função par.
b) é uma função ímpar e periódica de período fundamental [tex3]4\pi .[/tex3]
c) é uma função ímpar e periódica de período fundamental [tex3]\frac{4\pi}{3} .[/tex3]
d) é uma função periódica de período fundamental [tex3]2\pi .[/tex3]
e) não é nem par, nem ímpar, nem periódica.

[fabit]

[tex3]\cos{\frac{x-\pi}{2}}=\cos{\frac{\pi}{2}-\frac{x}{2}}=\sen{\frac{x}{2}}[/tex3]

[tex3]f(x)=2\sen{3x}-\sen{\frac{x}{2}}[/tex3]

Soma (ou diferença, tanto faz) de funções ímpares é função ímpar.

Quanto ao período, a primeira parcela tem período [tex3]\frac{2\pi}{3}[/tex3] contra [tex3]4\pi[/tex3] da segunda. O maior período fundamental prevalece (se houvesse entre as alternativas uma com período igual ao da primeira parcela poderia ser uma boa pegadinha para muitos condidatos).

Letra (b).

[Karl Weierstrass]

Teorema 1:

Sejam [tex3]f[/tex3] e [tex3]g[/tex3] duas funções periódicas, cujos períodos são, respectivamente, [tex3]P_1[/tex3] e [tex3]P_2,[/tex3] com [tex3]P_1\,\neq\, P_2.[/tex3]

Se [tex3]\,\frac{P_1}{P_2}\, =\, \frac{m}{n} ,[/tex3] com [tex3]m,\,n\,\in \mathbb{Z}_+[/tex3] e [tex3]\text{mdc}(m,\,n)\,=\,1,[/tex3] então as funções [tex3]f\,+\,g[/tex3] e [tex3]f\,\cdot\,g[/tex3] são periódicas e seu período é dado por: [tex3]P\, =\,nP_1[/tex3] ou [tex3]P\,=\,mP_2.[/tex3]

Demonstração:

Queremos mostrar que [tex3](f\,+\,g)(x\,+\,P)\,=\,f(x)\,+\,g(x),[/tex3] com [tex3]P\, =\,nP_1[/tex3] ou [tex3]P\,=\,mP_2,[/tex3] [tex3]\,\frac{P_1}{P_2}\, =\, \frac{m}{n} ,[/tex3] [tex3]m,\,n\,\in \mathbb{Z}_+[/tex3] e [tex3]\text{mdc}(m,\,n)\,=\,1.[/tex3]

De fato,

[tex3]\hspace{40pt}(f\,+\,g)(x\,+\,nP_1)\,=\,f(x\,+\,nP_1)\,+\,g(x\,+\,nP_1)\,\\
\hspace{183pt}=\,f(x\,+\,nP_1)\,+\,g(x\,+\,mP_2)\,\\
\hspace{183pt}=\,f(x)\,+\,g(x).[/tex3]

[tex3]\hspace{300pt}[/tex3] c.q.d.

Para o produto a demonstração é análoga. O teorema também pode ser extendido para [tex3]f\,-\,g[/tex3] e [tex3]f/g[/tex3].

Depois de pesquisar um pouco, descobri que o teorema acima não determina necessariamente o período fundamental das funções soma e produto de [tex3]f[/tex3] e [tex3]g[/tex3], mas pelo menos ajuda a encontrá-lo (Exemplo: [tex3]f(x)\,=\,\cos\,x\,\cdot\,\cos\,3x[/tex3] tem período [tex3]2\pi[/tex3] pelo teorema. Contudo, o período fundamental é [tex3]\pi).[/tex3]

Voltemos à solução.

[tex3]\hspace{40pt}f(x)\,=\,2\,\sen \,{3x}\,-\,\sen \,\frac{x}{2}[/tex3]

Como [tex3]P_1\,=\,\frac{2\pi}{3}[/tex3] e [tex3]P_2\,=\,4\pi,[/tex3] [tex3]\,\frac{P_1}{P_2}\, =\, \frac{1}{6},[/tex3] temos que um período da função [tex3]f[/tex3] é [tex3]4\pi[/tex3].

Agora temos que verificar se [tex3]4\pi[/tex3] é o período fundamental de [tex3]f.[/tex3]

De fato.

Teorema 2: Se [tex3]f[/tex3] admite um período fundamental [tex3]P_0,[/tex3] e se [tex3]k\,\cdot\,P_0[/tex3] é período de [tex3]f[/tex3], então [tex3]k[/tex3] é necessariamente inteiro.

Demonstração:

Suponhamos por absurdo que [tex3]k[/tex3] não é inteiro. Temos que [tex3][k]\,\cdot\,P_0[/tex3] é um período de [tex3]f,[/tex3] e, para todo [tex3]x \in D_f,[/tex3]

• [tex3]f(x)\,=\,f(x\,-\,[k]\,\cdot\,P_0\,+\,k\,\cdot\,P_0)=f(x+(k-[k])\,\cdot\,P_0\,).[/tex3]
  
  Donde conlcuímos que [tex3](k-[k])\,\cdot\,P_0[/tex3] é um período de [tex3]f.[/tex3] Mas [tex3](k-[k])\,\cdot\,P_0\,<\,P_0[/tex3]. Absurdo.

Obs.: [tex3][n][/tex3] é o maior inteiro que não supera [tex3]n[/tex3].

Portanto, pelo Teorema 2, se [tex3]\,4\pi[/tex3] não é o período fundamental de [tex3]f[/tex3], então [tex3]P_0[/tex3] só pode ser [tex3]\pi[/tex3] ou [tex3]2\pi[/tex3] pois [tex3]k\,\cdot\,P_0\,=\,4\pi[/tex3] implica em [tex3]P_0\,=\,\frac{4\pi}{k}[/tex3] [tex3]\,(k\, \in\,\mathbb{Z}_+\,\,\text{ e }\,\, P_0\,>\,0[/tex3] pela definição de período).

Calculando [tex3]f(x+\pi)[/tex3] e [tex3]f(x+2\pi),[/tex3] concluímos que [tex3]4\pi[/tex3] é o período fundamental de [tex3]f[/tex3]!

Abraço.