IME / ITA ⇒ (AFA - 1996) Polinômios - Equação do 3° Grau Tópico resolvido

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Um polinômio [tex3]P(X)[/tex3]do terceiro grau que, para todo número real, satisfaz a expressão [tex3]P(x)= P(x-1) + x^2[/tex3] é:

a) [tex3]\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}-\frac{x}{6}[/tex3]


b)[tex3]\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x}{6}[/tex3]

c)[tex3]\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x}{6}[/tex3]

d)[tex3]\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}-\frac{x}{6}[/tex3]

[brunoafa]

Perceba que em todos vai dar uma expressão [tex3]\frac{2x^3\pm 3x^2 \pm x}{6}[/tex3], só o sinal que muda.

Substitui todos por 1 só para testar os valores. Resposta letra E.

[tex3]P(1)=P(0)+1^2=0[/tex3]

[Ittalo25MOD]

Fazendo:

[tex3]P(x) = ax^3+bx^2+cx+d[/tex3]

Então:

[tex3]P(x)= P(x-1) + x^2[/tex3]

[tex3]ax^3+bx^2+cx+d= a(x-1)^3+b(x-1)^2+c(x-1)+d + x^2[/tex3]

[tex3]0=x^2\cdot (1-3a) +x\cdot (3a-2b) -a+b-c[/tex3]

Por identidade:

[tex3]\begin{cases}
1-3a=0 \\
3a-2b=0 \\
-a+b+c=0
\end{cases}[/tex3]

[tex3]\begin{cases}
a=\frac{1}{3} \\
b=\frac{1}{2} \\
c=\frac{1}{6}
\end{cases}[/tex3]

[tex3]P(x) = \frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+\frac{x}{6}+ C[/tex3]

Onde C é a constante d.

[futuromilitar]

Obrigado!

[brunoafa]

Nem tem letra E kkkkkkk

Mas o que fiz também tá certo