Maratonas de Matemática ⇒ V Maratona de Matemática IME/ITA

[brunoafa]

Para todos aqueles que almejam uma vaga no IME/ITA o fórum TutorBrasil lança a quinta temporada da maratona de exercícios para fazer seu estudo andar mais rápido!

As regras são simples, mas o não cumprimento acarretará na exclusão da maratona.

1) O usuário que quiser participar deverá RESPONDER a última questão sem resposta e POSTAR uma nova questão na mesma mensagem.
2) A resolução da questão deverá ser feita como se estivesse sendo entregue para a prova discursiva do IME ou do ITA.
3) O uso do LaTeX é obrigatório, caso não saiba usar leia aqui http://www.tutorbrasil.com.br/forum/tutorial_tex.php.
4) Todas questão deverão ser da CN,EFOMM,AFA,EN,IME,ITA de preferência com o ano.
5) Não deve ser postado uma nova questão enquanto a anterior não for resolvida.
6) As questões não respondidas irão ficar por no máximo 36h, após o limite iremos removê-la para o fórum IME/ITA, disponibilizando para que seja postada uma nova.
7) As questões deverão ser numeradas na ordem crescente.
8 ) Antes que postar uma nova questão, verifica se ela já não se encontra no fórum. Para pesquisar é fácil, basta colocar um trecho na caixa de buscar e pronto.

Atenção: Todos os problemas que forem dissertativas deverão obrigatoriamente apresentar o gabarito. Utilize a tag spoiler para colocar a resposta.

Veja a I Maratona de Matemática IME/ITA: caju.tv/maratmat
Veja a II Maratona de Matemática IME/ITA: caju.tv/maratmat2
Veja a III Maratona de Matemática IME/ITA: caju.tv/maratmat3
Veja a IV Maratona de Matemática IME/ITA caju.tv/maratmat4

**Veja como devemos proceder.**

Problema 1
(Questão acompanhado do ano)Escreva a questão

Código: Selecionar todos

[spoiler]Gabarito[/spoiler]

Quem for resolver deverá escrever:
Solução do Problema 1

Descrever a solução

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Problema 2
(Questão acompanhado do ano) Escreva a questão.

Código: Selecionar todos

[spoiler]Gabarito[/spoiler]

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Problema 1

(ITA 2016) Se o sistema de equações

[tex3]\begin{cases}
x+y+4z=2 \\
x+2y+7z=3 \\
3x+y=az=b
\end{cases}[/tex3]

é impossível, então os valores de [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] são tais que:

a) [tex3]a=6[/tex3] e [tex3]b \neq 4[/tex3]
b) [tex3]a \neq 6[/tex3] e [tex3]b \neq 4[/tex3]
c) [tex3]a \neq 6[/tex3] e [tex3]b=4[/tex3]
d) [tex3]a=6[/tex3] e [tex3]b=4[/tex3]
e) [tex3]a[/tex3] é arbitrário e [tex3]b \neq 4[/tex3]

Resposta

---

Letra A

[Marcos]

Solução do problema 1

Para o sistema ser impossível, precisamos:

[tex3]\cdot D=0[/tex3], logo

[tex3]\begin{vmatrix}
1 & 1 & 4 \\
1 & 2 & 7 \\
3 & 1 & a
\end{vmatrix}=0 \rightarrow \boxed{\boxed{a=6}}[/tex3]

e

[tex3]\begin{cases}
x+y+4z=2 \\
x+2y+7z=3 \\
3x+y+6z=b
\end{cases} - \begin{cases}{rll}
x+y+4z=2 \\
y+3z=1 \\
0z=b-4
\end{cases}[/tex3]

[tex3]b-4\neq0\rightarrow \boxed{\boxed{b\neq4}}[/tex3]

Resposta: [tex3]A[/tex3]

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Problema 2

(CN 1996) No triângulo [tex3]ABC[/tex3], retângulo em [tex3]A[/tex3], da figura, [tex3]AB=c,\ \ AC=b,\ \ AM=2[/tex3] e [tex3]AH[/tex3] é a altura relativa ao lado [tex3]BC[/tex3].Qual é a área do triângulo [tex3]AHM[/tex3]?

CN 1996.png (3.45 KiB) Exibido 14512 vezes

[tex3]a)\ \ \frac{bc}{b^2+c^2}[/tex3]

[tex3]b)\ \ \frac{b^2c^2}{b^2+c^2}[/tex3]

[tex3]c)\ \ \frac{bc^2}{b^2+c^2}[/tex3]

[tex3]d)\ \ \frac{b^2c^2}{\sqrt{b^2+c^2}}[/tex3]

[tex3]e)\ \ \frac{bc}{\sqrt{b^2+c^2}}[/tex3]

Resposta

---

Letra C

[brunoafa]

Solução do Problema 2:

Screenshot from 2016-05-24 11-02-53.png (25.52 KiB) Exibido 14510 vezes

[tex3]HD \perp AB \rightarrow S_{AMN}=\frac{AM \cdot HD}{2} \\ \\
\Delta_{ABC} \rightarrow b \cdot c = a \cdot AH \ (a^2=b^2+c^2) \\ \\
AH= \frac{bc}{\sqrt{b^2+c^2}} \\ \\ \\

HD \cdot AB = AH \cdot BH \\ \\
HD= \frac{bc^2}{b^2+c^2} \\ \\

S_{AMN}=\frac{2 \cdot \frac{bc^2}{b^2+c^2}}{2}=\boxed{\frac{bc^2}{b^2+c^2}}[/tex3]

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Problema 3:

(AFA 2016) Em uma mesa há dois vasos com rosas. O vaso A contém 9 rosas das quais 5 tem espinhos e o vaso B contém 8 rosas sendo que exatamente 6 não tem espinhos.

Retira-se, aleatoriamente, uma rosa do vaso A e coloca-se em B. Em seguida, retira-se uma rosa de B.

A probabilidade de essa rosa retirada de B ter espinhos é

a) [tex3]\frac{8}{51}[/tex3]
b) [tex3]\frac{15}{81}[/tex3]
c) [tex3]\frac{18}{81}[/tex3]
d) [tex3]\frac{23}{81}[/tex3]

Resposta

---

Letra D

[Ittalo25MOD]

Solução do Problema 3:

1° opção: A rosa retirada de A tem espinhos:

[tex3]\frac{5}{9}\cdot \frac{3}{9} = \frac{15}{81}[/tex3]

2° opção: A rosa retirada de A não tem espinhos:

[tex3]\frac{4}{9}\cdot \frac{2}{9} = \frac{8}{81}[/tex3]

A probabilidade total é dada pela soma dos dois casos:

[tex3]\frac{15}{81}+\frac{8}{81} = \frac{23}{81}[/tex3]

---

Problema 4:

(IME - 1970/1971) Determine os valores de [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] que satisfazem as equações:

[tex3]\begin{cases}
x+y =\frac{\pi}{5} \\
\sen^2(x) + \sen^2(y)= 1-\cos\left(\frac{\pi}{5}\right)
\end{cases}[/tex3]

a) [tex3]x = 0,\, y = \frac{\pi}{5}[/tex3]

b) [tex3]x = y = k\pi \pm \frac{\pi}{10}[/tex3]

c) [tex3]x = 2k\pi+\frac{\pi}{5},\, y = 2k\pi-\frac{\pi}{5}[/tex3]

d) [tex3]x = k\pi+\frac{\pi}{10},\, y = -k\pi+\frac{\pi}{10}[/tex3]

e) [tex3]x = k\pi+\frac{\pi}{2},\, y = -k\pi-\frac{3\pi}{10}[/tex3]

f) N.R.A.

[brunoafa]

Solução do Problema 4:

[tex3]\sen^2(x) + \sen^2(y)= 1- \cos\left(x+y\right)[/tex3]

[tex3]\sen^2(x) + \sen^2(y)= \sen^2(x) + \cos^2(x)- \cos\left(x+y\right)[/tex3]

[tex3]\cos\left(x+y\right)= \cos^2(x)-\sen^2(y)[/tex3]

[tex3]y = -k\pi+\frac{\pi}{10}[/tex3]

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Problema 5:

(IME 2007) Cinco equipes concorrem numa competição automobilística, em que cada equipe possui 2 carros. Para a largada são formadas duas colunas de carros lado a lado, de tal forma que cada carro da coluna da direita tenha ao seu lado, na coluna da esquerda, um carro de outra equipe. Determine o número de formações possíveis para a largada.

Resposta

---

2.088.960

[Marcos]

Solução do Problema 5:

Inicialmente, temos [tex3]10![/tex3] possibilidades de colocarmos esses [tex3]10[/tex3] veículos na posição de largada.Dessas permutações vamos excluir aquelas com [tex3]2[/tex3] carros de ao menos uma equipe lado a lado.Para isso, temos [tex3]C_{5,1}[/tex3] formas de escolhermos essa equipe que, por sua vez, poderá ser colocada em uma das [tex3]5[/tex3] filas na largada [tex3](1^{a}, 2^{a}, 3^{a}, 4^{a} \ ou \ 5^{a} \ fila)[/tex3].Devemos, ainda, permutar os carros de uma mesma equipe [tex3]2![/tex3] e os demais [tex3]8[/tex3] carros [tex3]8![/tex3]. Assim, temos [tex3]C_{5,1}\cdot 5\cdot 2!\cdot 8![/tex3] formas distintas de fazermos isso. O problema que encontramos é que algumas dessas formas apresentam mais de uma equipe com seus carros emparelhados. Agora, calcularemos em quantos casos teremos ao menos [tex3]2[/tex3] equipes com seus carros emparelhados. Primeiramente, temos [tex3]C_{5,2}[/tex3] formas de escolhermos essas [tex3]2[/tex3] equipes e podemos colocá-las de [tex3]5\cdot 4[/tex3] diferentes nas [tex3]5[/tex3] filas da largada (a primeira equipe pode entrar em qualquer uma das [tex3]5[/tex3] filas e a segunda em uma das outras [tex3]4[/tex3] que restaram). Mas, ainda, devemos permutar os carros das duas equipes lado a lado [tex3]2!\cdot 2[/tex3] e das demais [tex3]6[/tex3] equipes [tex3]6![/tex3].

Seguindo essa linha de raciocínio aqui apresentada, pelo Princípio da Inclusão – Exclusão, temos:

[tex3]10!-C_{5,1}\cdot 5\cdot 2!\cdot 8!+C_{5,2}\cdot 5\cdot 4\cdot 2!^{2}\cdot 6!-C_{5,3}\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2!^{3}\cdot 4!+C_{5,4}\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 2!^{4}\cdot 2!-C_{5,5}\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1\cdot 2!^{5}[/tex3]

Portanto, temos [tex3]\boxed{\boxed{2088960}}[/tex3] possibilidades de formar a largada da forma solicitada.

Resposta: [tex3]2088960[/tex3]

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Problema 6:

(IME 1990) Seja [tex3]P[/tex3] um ponto no interior de um triângulo [tex3]ABC[/tex3], dividindo-o em seis triângulos, quatro dos quais têm áreas [tex3]40,\, 30,\, 35[/tex3] e [tex3]84[/tex3],como mostra a figura.

IME 1990.png (3.74 KiB) Exibido 14436 vezes

Calcule a área do triângulo [tex3]ABC[/tex3].

Resposta

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[tex3]311 u\cdot a[/tex3]

[brunoafa]

Solução do Problema 6:

Sejam [tex3]A',\, B'[/tex3] e [tex3]C'[/tex3] as interseções de [tex3]AP[/tex3] com [tex3]BC,\, BP[/tex3] com [tex3]AC[/tex3] e [tex3]CP[/tex3] com [tex3]AB[/tex3], respectivamente.

Como os triângulos [tex3]\triangle ABA[/tex3] e [tex3]\triangle ACA[/tex3] têm mesma altura relativa ao lado BC, então,

[tex3]\frac{84+S_{PBC'}+40}{S_{PAB'}+35+30}=\frac{40}{3}[/tex3]

Analogamente, como os triângulos [tex3]\triangle BCB[/tex3] e [tex3]\triangle BAB[/tex3] têm mesma altura relativa ao lado [tex3]AC[/tex3], então,

[tex3]\frac{40+30+35}{S_{PBC'}+84+S_{PAB'}}=\frac{35}{S_{PAB'}}[/tex3]

Logo,

[tex3]\begin{cases}4S_{PAB'}-3S_{PBC'}=112 \\ 2S_{PAB'}-S_{PBC'}=84\end{cases} \rightarrow \begin{cases}S_{PBC'}=56 \\ S_{PAB'}=70 \end{cases} \\ \\ \\S_{ABC}=84+70+56+35+40+30=\boxed{315}[/tex3]

Resposta

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To mal, tendo que apelar para as resoluções

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Problema 7:

(EN 2013) Sabendo que [tex3]b=\cos \left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{12}+....\right)[/tex3] então o valor de [tex3]\log_{2}|b|[/tex3] é:

a) [tex3]1[/tex3]
b) [tex3]0[/tex3]
c) [tex3]-1[/tex3]
d) [tex3]-2[/tex3]
e) [tex3]3[/tex3]

Resposta

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Letra C

[Marcos]

Solução do Problema 7:

[tex3]\blacktriangleright \left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{12}+....\right)[/tex3] é a soma de uma [tex3]P.G.[/tex3] infinita de razão [tex3]\frac{1}{2}[/tex3] e o primeiro termo é [tex3]\frac{\pi}{3}[/tex3], então [tex3]\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{12}+....\right)=\frac{\frac{\pi}{3}}{1-{\frac{1}{2}}}=\frac{2\pi}{3}[/tex3].

[tex3]\blacktriangleright[/tex3] Logo, [tex3]b=\cos \left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{12}+....\right)=\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)=-\frac{1}{2}=-2^{-1}[/tex3].

[tex3]\blacktriangleright \log_{2}|b|=\log_{2}|-2^{-1}|=\log_{2}|2^{-1}|=(-1)\cdot\log_{2}|2|=\boxed{-1}[/tex3]

[tex3]\blacktriangleright[/tex3] Então o valor de [tex3]\log_{2}|b|[/tex3] é [tex3]\boxed{\boxed{-1}}\Longrightarrow Letra:(C)[/tex3]

Resposta: [tex3]C[/tex3]

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Problema 8:

(IME 1988) Sobre os catetos [tex3]AB[/tex3] e [tex3]AC[/tex3] de um triângulo [tex3]ABC[/tex3], constroem-se dois quadrados [tex3]ABDE[/tex3] e [tex3]ACFG[/tex3].Mostre que os segmentos [tex3]CD,\, BF[/tex3] e a altura [tex3]AH[/tex3] são concorrentes.

Resposta

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Demonstração

[brunoafa]

Solução do Problema 8:

Screenshot from 2016-05-29 22-45-43.png (10.97 KiB) Exibido 14381 vezes

[tex3]\begin{cases}
\frac{b}{a_{1}}=\frac{a}{b} \\ \frac{a_{2}}{c}=\frac{c}{a}\end{cases} \rightarrow

\begin{cases}a_{1}=\frac{b^2}{a} \\ a_{2}=\frac{c^2}{a}\end{cases} \\ \\ \\

\Delta ACJ \simeq \Delta BDJ \\ \\

\frac{c_{2}}{b}=\frac{c_{1}}{c}=\frac{c_{2}+c_{1}}{b+c}=\frac{c}{b+c} \rightarrow \begin{cases} c_{1}=\frac{c^2}{b+c} \\
c_{2}=\frac{bc}{b+c} \end{cases} \\ \\ \\

\frac{CH \cdot AI \cdot BJ}{BH \cdot CI \cdot AJ}=\frac{a_{1} b_{1} c_{1}}{a_{2}b_{2}c_{2}}= 1[/tex3]

Concorrentes pelo Teorema de Ceva.

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Problema 9:

(IME 2008) Sejam [tex3]L,\, D[/tex3] e [tex3]U[/tex3] matrizes quadradas de ordem n cujos elementos da i-ésima linha j-ésica coluna [tex3]l_{i,j},\, d_{i\cdot j}[/tex3] e [tex3]u_{i,j}[/tex3], respectivamente são dados por:

[tex3]l_{i,j}=\begin{cases}\frac{i^2}{i \cdot j}, i \geq j \\ 0, i<j\end{cases}[/tex3]

[tex3]d_{i\cdot j}=\begin{cases}\frac{i+j}{i}, i=j \\ 0, i \neq j \end{cases}[/tex3]

[tex3]u_{i,j}=\begin{cases}\frac{2i}{i+j}, i \leq j \\ \\0, i>j \end{cases}[/tex3]

O valor do determinante A=LDU é iguala:
A) [tex3]0[/tex3]
B) [tex3]1[/tex3]
C) [tex3]n[/tex3]
D) [tex3]n+1[/tex3]
E) [tex3]\frac{n+1}{n}[/tex3]

Resposta

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Letra D

[Marcos]

Solução do Problema 9:

Como [tex3]L,\, D[/tex3] e [tex3]U[/tex3] são matrizes triangulares, seus determinantes são os respectivos produtos dos elementos da diagonal principal.Daí:

[tex3]i) \det_{(L)}=l_{11}\cdot l_{22}\cdot l_{33}\cdot \ ... \ \cdot l_{nn}=\frac{1^2}{1^2}\cdot \frac{2^2}{2^2}\cdot \ ... \ \cdot \frac{n^2}{n^2}=1[/tex3].
[tex3]ii) \det_{(D)}=d_{11}\cdot d_{22}\cdot d_{33}\cdot \ ...\ \cdot d_{nn}=\frac{1+1}{1}\cdot \frac{2+1}{2}\cdot \ ... \ \cdot \frac{n+1}{n}=\frac{n+1}{1}=n+1[/tex3].
[tex3]iii) \det_{(U)}=u_{11}\cdot u_{22}\cdot u_{33}\cdot \ ...\ \cdot u_{nn}=\frac{2\cdot 1}{2\cdot 1}\cdot \frac{2\cdot 2}{2\cdot 2}\cdot \ ... \frac{2n}{2n}=1[/tex3].

Como [tex3]L,\, D[/tex3] e [tex3]U[/tex3] são quadradas de mesma ordem, vale o Teorema de Binet:

[tex3]\det_{(A)}=\det_{(L\cdot D\cdot\cdot U)}=\det_{(L)} \cdot \det_{(D)}\cdot \det_{(U)}=1\cdot (n+1)\cdot 1=n+1[/tex3], portanto

[tex3]\boxed{\boxed{\det_{(A)}=n+1}}\Longrightarrow Letra:(D)[/tex3]

Resposta: [tex3]D[/tex3]

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Problema 10:

(CN 1990) No quadrado [tex3]ABCD[/tex3] de área [tex3]S[/tex3] da figura abaixo, os pontos [tex3]E[/tex3] e [tex3]F[/tex3] são médios.A área da parte hachurada é:

CN 1990.png (3.16 KiB) Exibido 14354 vezes

[tex3]a) \ \frac{2S}{15}[/tex3]
[tex3]b) \ \frac{S}{5}[/tex3]
[tex3]c) \ \frac{4S}{15}[/tex3]
[tex3]d) \ \frac{S}{3}[/tex3]
[tex3]e) \ \frac{2S}{5}[/tex3]

Resposta

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Letra C