Ensino Superior ⇒ Equações diferenciais não homogêneas

[vevefausto]

Resolva pelo método que achar apropriado:

a) y'' + 4y = 3sen2x

b) y''' - 3y'' + 3y - y = x - 4 [tex3]e^{x}[/tex3]

[danjr5]

a) [tex3]y'' + 4y = 3 \cdot \sin (2x)[/tex3]

Sabemos que a solução de uma equação diferencial de segunda ordem é dada por [tex3]y_h + y_p[/tex3], onde [tex3]y_h[/tex3] é a solução da equação diferencial homogênea associada e [tex3]y_p[/tex3] a solução particular.

Isto posto, encontremos a solução da equação diferencial homogênea associada:

[tex3]\\ m^2 + 4 = 0 \\ m^2 = - 4 \\ m^2 = 4i^2 \\ \boxed{m = \pm 2i}[/tex3]

Já que as raízes são complexas, temos que:

[tex3]\\ y_h = e^{\alpha x}[c_1 \cdot \cos (\beta x) + c_2 \cdot \sin (\beta x)] \\ y_h = e^{0x}[c_1 \cdot \cos (2x) + c_2 \cdot \sin (2x)] \\ \boxed{y_h = c_1 \cdot \cos (2x) + c_2 \cdot \sin (2x)}[/tex3]

Por fim, devemos encontrar a solução particular. Consideremos [tex3]y_p = Ax \cdot \cos (2x) + Bx \cdot \sin (2x)[/tex3].

Derivando... a fim de substituí-la na equação inicial:

[tex3]\\ y_p' = A \cdot \cos (2x) + Ax \cdot (2 \cdot - \sin (2x)) + B \cdot \sin (2x) + Bx \cdot (2 \cdot \cos (2x)) \\\\ y_p' = A \cdot \cos (2x) - 2Ax \cdot \sin (2x) + B \cdot \sin (2x) + 2Bx \cdot \cos (2x) \\\\ y_p'' = - 2A \cdot \sin (2x) - (2A \cdot \sin (2x) + 4Ax \cdot \cos (2x)) + 2B \cdot \cos (x) + (2B \cdot \cos (2x) - 4Bx \cdot \sin (2x)) \\\\ y_p'' = - 4A \cdot \sin (2x) + 4B \cdot \cos (2x) - 4Ax \cdot \cos (2x) - 4Bx \cdot \sin (2x) \\\\[/tex3]

Substituindo na equação inicial,

[tex3]\\ y_p'' + 4y_p = 3 \cdot \sin (2x) \\\\ - 4A \cdot \sin (2x) + 4B \cdot \cos (2x) - {\color{blue}4Ax \cdot \cos (2x)} - {\color{red}4Bx \cdot \sin(2x)} + 4[{\color{blue}Ax \cdot \cos (2x)} + {\color{red}Bx \cdot \sin (2x)}] = 3 \cdot \sin (2x)[/tex3]

Cancelando os termos em destaque,

[tex3]\\ 4B \cdot \cos (2x) - 4A \cdot \sin (2x) = 3 \cdot \sin (2x)[/tex3]

Por comparação temos que [tex3]\begin{cases}4B = 0 \\ - 4A = 3 \end{cases}[/tex3].

Com efeito, [tex3]\boxed{A = - \frac{3}{4}} \ \text{e} \ \boxed{B = 0}[/tex3].

Por fim,

[tex3]\\ y = y_h + y_p \\\\ \boxed{\boxed{y = c_1 \cdot \cos (2x) + c_2 \cdot \sin (2x) - \frac{3}{4} \cdot x \cdot \cos (2x)}}[/tex3]

Espero ter ajudado!!