Ensino Médio ⇒ Trigonometria: Identidade Trigonométrica

[João Fláudio Nascimento]

Sabendo que a [tex3]\text{tg} x =\frac{b}{a},[/tex3] provar que:

• [tex3]\frac{a}{\cos x} + \frac{b}{\text{sen}x} = 2 \cdot \sqrt{a^2 + b^2}[/tex3]

[triplebig]

Solução:

---

• Temos que:
  
  [tex3]a\text{tg} x = b \Longleftrightarrow a \text{sen} x = b \cos x[/tex3]
  
  [tex3]1 + \text{tg}^2 x = \sec^2 x[/tex3]
  
  [tex3]\Large\frac{a}{\cos x} + \frac{b}{\text{sen} x}\large = 2\sqrt{a^2 + b^2}[/tex3]
  
  [tex3]\Large\frac{a \text{sen} x + b \cos x}{\cos x \cdot \text{sen} x}\large = 2\sqrt{a^2 + b^2}[/tex3]
  
  [tex3]\Large\frac{2a \text{sen} x}{\cos x \text{sen} x}\large = 2\sqrt{a^2 + (a \text{tg} x)^2}[/tex3]
  
  [tex3]\Large\frac{2a}{\cos x}\large = 2\sqrt{a^2(1 + \text{tg}^2 x)}[/tex3]
  
  [tex3]\Large\frac{2a}{\cos x}\large = 2\sqrt{a^2} \cdot \sqrt{1 + \text{tg}^2 x}[/tex3]
  
  [tex3]\Large\frac{2a}{\cos x}\large = 2a\sqrt{ \sec^2 x}[/tex3]
  
  [tex3]\Large\frac{2a}{\cos x}\large = 2a \sec x[/tex3]
  
  [tex3]\Large\frac{2a}{\cos x}\large = \Large\frac{2a}{\cos x}\large[/tex3]

[Auto Excluído (ID:276)]

Eu poderia dizer que [tex3]a = \cos x[/tex3] e [tex3]b = \text{sen}x ?[/tex3]

Assim sai em 1 linha.

[triplebig]

[tex3]\frac{a}{b}=\frac{x}{y}[/tex3] não quer dizer que [tex3]a=x\text{ e }b=y[/tex3]

No caso não faz diferença, pois utilizando a representação correta:

• [tex3]a =k\cos x[/tex3] e [tex3]b=k\text{sen}x[/tex3]

Daria no mesmo resultado. Porem tome cuidado ao fazer isso [tex3](a=x\text{ e }b=y),[/tex3] falar isso como caso geral não funciona para todo problema.