IME / ITA ⇒ (AFA - 1997) Geometria Analítica: Intersecção de Cônicas Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

O valor numérico do raio da circunferência que intersecciona a parábola [tex3]x^2 - 2x - 4y - 1 = 0[/tex3] no eixo das abscissas, e tem seu centro no foco da mesma é?






[tex3]\,[/tex3]

[fabit]

Vou escrever a forma canônica da parábola:

• [tex3]4y=x^2-2x-1\Rightarrow4y=x^2-2x+1-2\Rightarrow4y=(x-1)^2-2[/tex3]
  
  [tex3]y=\frac{1}{4}(x-1)^2-\frac{1}{2}[/tex3]. Logo o vértice é [tex3]V=(1;-\frac{1}{2})[/tex3] e [tex3]L=2p=\frac{1}{a}=4\Rightarrow p=2\Rightarrow\frac{p}{2}=1[/tex3].

Como a concavidade é pra cima, o foco está 1 unidade acima do vértice: [tex3]F=(1;\frac{1}{2})[/tex3]

Esse é o centro da circunferência. Como ela passa pelas raízes da função cujo gráfico seria a parábola, vamos calcular as raízes dessa função:

• [tex3]\frac{1}{4}(x-1)^2-\frac{1}{2}=0\Rightarrow(x-1)^2=2\Rightarrow x-1=\pm\sqrt{2}\Rightarrow x=1\pm\sqrt{2}[/tex3]

Pra achar o raio, pego um dos pontos obtidos com os zeros da função e vejo a distãncia ao centro (F).

• [tex3]r^2=[1+\sqrt{2}-1]^2+[0-\frac{1}{2}]^2\Rightarrow r=\sqrt{[\sqrt{2}]^2+\frac{1}{4}}=\sqrt{2+\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}[/tex3] ou [tex3]r=1,5[/tex3]

[ALDRINMOD]

Valeu Fabit.

Thales há a possibilidade de você colocar essa questão graficamente? Suas resoluções com os gráficos ficam 100%.

Grato

[Thales Gheós]

Taí amigo,

AB82.png (30.81 KiB) Exibido 4578 vezes

[ALDRINMOD]

Muito obrigado Thales, é que tinham me passado outra resolução diferente dessa, vocês poderiam analisar a resolução, por favor , e me informar onde está o erro?

Segue a resolução:

[tex3](x-x_0)^2+(y-p/2)^2=(y+p/2)^2[/tex3]
[tex3](x-x_0)^2=2py[/tex3]
[tex3]2p=4\\
p=2\\
p/2=1=R[/tex3]

[ALDRINMOD]

Desculpem pessoal, o [tex3]2p = 4[/tex3] do final da segunda linha juntou com a expressão, não sei qual a mágica que eu fiz. Na verdade era para está na terceira linha.

[Karl Weierstrass]

Desculpem pessoal, o [tex3]2p = 4[/tex3] do final da segunda linha juntou com a expressão, não sei qual a mágica que eu fiz. Na verdade era para está na terceira linha.

Olá Aldrin, isso aconteceu por que o seu código era:

• Código: Selecionar todos

  [tex3](x-x_0)^2+(y-p/2)^2=(y+p/2)^2[/tex3]
  [tex3](x-x_0)^2=2py[/tex3]2p=4
  p=2
  p/2=1=R

Se você não passar a equação para a próxima linha através do "enter", ela ficará junto da anterior. Para obter o aspecto da solução abaixo segue o código:

• [tex3](x-x_0)^2+(y-p/2)^2=(y+p/2)^2[/tex3]
  [tex3](x-x_0)^2=2py[/tex3]
  [tex3]2p=4[/tex3]
  [tex3]p=2[/tex3]
  [tex3]p/2=1=R[/tex3]

• Código: Selecionar todos

  [tex3](x-x_0)^2+(y-p/2)^2=(y+p/2)^2[/tex3]
  [tex3](x-x_0)^2=2py[/tex3]
  [tex3]2p=4[/tex3]
  [tex3]p=2[/tex3]
  [tex3]p/2=1=R[/tex3]

Você pode obter o mesmo resultado, digitando toda a solução, selecionando tudo e clicando uma única vez em [tex3]\boxed{\text{tex}}[/tex3]. Neste caso é necessário separar cada linha com um par de barras invertidas (\\):

• [tex3](x-x_0)^2+(y-p/2)^2=(y+p/2)^2\\
  (x-x_0)^2=2py\\
  2p=4\\
  p=2\\
  p/2=1=R[/tex3]

• Código: Selecionar todos

  [tex3](x-x_0)^2+(y-p/2)^2=(y+p/2)^2\\
  (x-x_0)^2=2py\\
  2p=4\\
  p=2\\
  p/2=1=R[/tex3]

Para obter deslocamento horizontal em relação à margem esquerda, selecione tudo e clique em [tex3]\boxed{\text{List}}[/tex3]:

• [tex3](x-x_0)^2+(y-p/2)^2=(y+p/2)^2\\
  (x-x_0)^2=2py\\
  2p=4\\
  p=2\\
  p/2=1=R[/tex3]

• Código: Selecionar todos

  [list][tex3](x-x_0)^2+(y-p/2)^2=(y+p/2)^2\\
  (x-x_0)^2=2py\\
  2p=4\\
  p=2\\
  p/2=1=R[/tex3][/list]

[claudiomarianosilveira]

Thales voce usa o Winplot para criar esses graficos?

Abraço!