IME / ITA ⇒ (AFA - 2001) Geometria Plana Tópico resolvido

[futuromilitar]

Na figura abaixo, a circunferência de centro O é trigonométrica, o arco AM tem medida α, 0 < α< π/2, e OMP é um triângulo retângulo em M.
Esse triângulo tem por perímetro:

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cir.png (7.28 KiB) Exibido 3627 vezes

a)[tex3]\frac{1+sin\alpha +cos\alpha }{cos\alpha }[/tex3]

b)[tex3]\frac{1+sin\alpha +cos\alpha }{sin\alpha }[/tex3]

c)[tex3]\frac{1+2sin\alpha +cos\alpha }{cos\alpha }[/tex3]

d)[tex3]\frac{1+2sin\alpha +cos\alpha }{sin\alpha }[/tex3]

Resposta

---

a

[Marcos]

Olá futuromilitar.Esta questão consta na prova da [tex3]AFA \ 2001[/tex3] observe a solução:

AFA 2001.png (5.9 KiB) Exibido 3612 vezes

[tex3]\blacktriangleright[/tex3] A circunferência de centro [tex3]O[/tex3] é trigonométrica, o arco [tex3]AM[/tex3] tem medida [tex3]\alpha[/tex3] , [tex3]0<\alpha<\frac{\pi}{2}[/tex3].

Aplicando Relações Trigonométricas, teremos:

[tex3]\tan_{\alpha}=\frac{\overline{MP}}{\overline{OM}}\Rightarrow \tan_{\alpha}=\frac{\overline{MP}}{1}\Rightarrow \boxed{\overline{MP}=\tan_{\alpha}}[/tex3]

Sabemos que [tex3]\overline{MP}=\tan_{\alpha}[/tex3], [tex3]\overline{OM}=1[/tex3].Como [tex3]OMP[/tex3] é triângulo retângulo [tex3]\overline{OP}[/tex3], será:

[tex3]\left(\overline{OP}\right)^2=\left(\overline{MP}\right)^2+\left(\overline{OM}\right)^2[/tex3]
[tex3]\left(\overline{OP}\right)^2=\left(\tan_{\alpha}\right)^2+\left(1\right)^2 \Rightarrow \boxed{\overline{OP}=\sec_{\alpha}}[/tex3]

[tex3]\blacktriangleright[/tex3] Esse triângulo tem por perímetro:
[tex3]2p_{OMP}=\overline{OM}+\overline{MP}+\overline{OP}[/tex3]
[tex3]2p_{OMP}=1+\tan_{\alpha}+\sec_{\alpha}[/tex3]
[tex3]2p_{OMP}=1+\frac{\sin_{\alpha}}{\cos_{\alpha}}+\frac{1}{\cos_{\alpha}}[/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{2p_{OMP}=\frac{\cos_{\alpha}+1+\sin_{\alpha}}{\cos_{\alpha}}}}\Longrightarrow Letra:(A)[/tex3]

Resposta: [tex3]A[/tex3]

[olgario]

Triângulo-Retângulo.jpg (7.37 KiB) Exibido 3602 vezes

Olá !

Repare que:

[tex3]\frac{1+sen\alpha\,+\,cos\alpha}{cos\alpha}\,=\,\frac{1}{cos\alpha}\,+\,\frac{sen\alpha}{cos\alpha}\,+\,\frac{cos\alpha}{cos\alpha}[/tex3]

[tex3]\frac{1}{cos \alpha}=sec\alpha\,=\,\frac{hipot.}{cat.adjacente}\,=\, \frac{PO}{OM}\,=\,\frac{PO}{Raio}\,=\,\frac{PO}{1}\,=\,PO[/tex3]

[tex3]\frac{sen\alpha}{cos\alpha}\,=\,tag\alpha\,=\,\frac{cat.oposto}{cat.adjacente}\,=\,\frac{PM}{OM}\,=\,\frac{PM}{Raio}\,=\,\frac{PM}{1}\,=\,PM[/tex3]

[tex3]\frac{cos\alpha}{cos\alpha}\,=\,1\,=\, Raio.\;\;\;\;cos\alpha\,=\,\frac{cat.adjacente}{hipot.}\;=\;\frac{OM}{PO}\;\rightarrow\;\frac{cos\alpha}{cos\alpha}\,=\,\frac{{\frac{OM}{PO}}}{\frac{OM}{PO}}\,=\,\frac{(PO \cdot OM)}{(OM\cdot PO)},\text{ ou }\frac{OM}{PO} \cdot \frac{PO}{OM}\,=\,\frac{(OM \cdot PO)}{(PO\cdot OM)}\,=\,[/tex3]1

Logo, [tex3]Perimetro_{\triangle}\,=\,(PO\,+\,PM\,+\,1\,)\,=\,(\,sec\alpha\,+\,tag\alpha\,+\,1\,)\,=\,\frac{1}{cos\alpha}\,+\,\frac{sen\alpha}{cos\alpha}\,+\,\frac{cos\alpha}{cos\alpha}\,=\,\frac{1\,+\,sen\alpha\,+\,cos\alpha}{cos\alpha}[/tex3].

Mais outro método diferente de chegar na solução.