Olimpíadas ⇒ (Olimpíadas do Ceará - 1986) Álgebra Tópico resolvido

[Gu178]

Resolva a equação [tex3]\sqrt[3]{x+9}-\sqrt[3]{x-9}=3[/tex3]

Resposta

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[tex3]\pm \sqrt{80}[/tex3]

[undefinied3]

Fazendo [tex3]a=\sqrt[3]{x+9}[/tex3] e [tex3]b=\sqrt[3]{x-9}[/tex3], temos:

[tex3]\begin{cases}
a-b=3 \\
a^3-b^3=18
\end{cases}[/tex3]

Trabalhando a segunda expressão:

[tex3]a^3-b^3=18 \rightarrow (a-b)(a^2+ab+b^2)=18 \rightarrow 3((a-b)^2+3ab)=18[/tex3]
[tex3]3^2+3ab=6 \rightarrow ab=-1[/tex3]

Desfazendo a substituição:

[tex3]\sqrt[3]{(x+9)(x-9)}=-1 \rightarrow x^2-81=(-1)^3 \rightarrow x^2=80[/tex3]
[tex3]x=\pm \sqrt{80}[/tex3]

Como são raízes cúbicas, não temos que nos preocupar com o radicando ser negativo.

[Gu178]

Obrigado, ajudou muito.