Olimpíadas ⇒ (Olimpíada do Espírito Santo - 2005) Equação Irracional Tópico resolvido

[Gu178]

Ache todas as raízes da equação [tex3]\sqrt[4]{386-x}+\sqrt[4]{x}=6[/tex3]

Resposta

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[tex3](3\pm \sqrt{2})^4[/tex3]

[Ittalo25MOD]

O procedimento de sempre:

[tex3]\sqrt[4]{386-x} = a[/tex3]

[tex3]\sqrt[4]{x}=b[/tex3]

Logo:

[tex3]\begin{cases}
a+b=6 \\
a^4+b^4=386
\end{cases}[/tex3]

Desenvolvendo:

[tex3]a^4+b^4=386[/tex3]
[tex3](a^2+b^2)^2 - 2a^2b^2=386[/tex3]
[tex3]((a+b)^2 - 2ab)^2 - 2a^2b^2=386[/tex3]
[tex3](36 - 2ab)^2 - 2a^2b^2=386[/tex3]
[tex3]a^2b^2-72ab+455=0[/tex3]

[tex3]ab = 7\rightarrow a = \frac{7}{b}[/tex3]

[tex3]ab = 65\rightarrow a = \frac{65}{b}[/tex3]

Agora substitui em [tex3]a+b = 6[/tex3] e não esqueça de verificar as condições de existência das raízes, já que o radical é par.

[tex3]386-x\geq 0\rightarrow x\leq 386[/tex3]

[tex3]x\geq 0[/tex3]

[Gu178]

Perfeito, me ajudou muito.