IME / ITA ⇒ (AFA-1998) Geometria Analítica Tópico resolvido

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A equação da cônica representada na figura é:

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a)[tex3]\frac{(x-4)^2}{9}+\frac{(y-3)^2}{16}=1[/tex3]

b)[tex3]\frac{(x-5)^2}{9}+\frac{(y+1)^2}{16}=1[/tex3]

c)[tex3]\frac{(x+1)^2}{16}+\frac{(y-5)^2}{9}=1[/tex3]

d)[tex3]\frac{(x+1)^2}{9}+\frac{(y-5)^2}{16}=1[/tex3]

[danjr5]

A equação da cônica representada na figura é:

tri.png

a)[tex3]\frac{(x-4)^2}{9}+\frac{(y-3)^2}{16}=1[/tex3]

b)[tex3]\frac{(x-5)^2}{9}+\frac{(y+1)^2}{16}=1[/tex3]

c)[tex3]\frac{(x+1)^2}{16}+\frac{(y-5)^2}{9}=1[/tex3]

d)[tex3]\color{red}{\frac{(x+1)^2}{9}+\frac{(y-5)^2}{16}=1}[/tex3]

Sabemos que a equação de uma elipse centrada na origem cujo eixo maior é paralelo ao eixo y é dada por [tex3]\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1[/tex3], onde [tex3]2a[/tex3] e [tex3]2b[/tex3] são os eixos.

Eixo maior: Oy

[tex3]\\ 2a = 9 - 1 \\ 2a = 8 \\ \boxed{a = 4}[/tex3]

Eixo menor: Ox

[tex3]\\ b = 2 - (- 1) \\ b = 2 + 1 \\ \boxed{b = 3}[/tex3]

Mas, a elipse não está centrada na origem e sim em [tex3](- 1, 5)[/tex3].

Sejam [tex3]x'[/tex3] e [tex3]y'[/tex3] os eixos transladados. É fácil notar que o eixo [tex3]x'[/tex3] passa por [tex3](- 1)[/tex3]. Quanto ao eixo [tex3]y'[/tex3], repare que a linha tracejada horizontal passa por [tex3]4[/tex3] [(9 - 1):2] se considerarmos o eixo xOy; Entretanto, repare também que a elipse está elevada uma unidade verticalmente, portanto fazemos 4 + 1.

Por fim, podemos concluir que: [tex3]\boxed{\frac{(x + 1)^2}{3^2} + \frac{(y - 5)^2}{4^2} = 1}[/tex3]