Ensino Médio ⇒ Custo minimo Tópico resolvido

[gabysantooos]

Quer-se fabricar uma lata em forma de paralelepípedo de base quadrada com capacidade de 12 l, com o menor custo possível. O material usado para fazer a
lateral custa $2/cm^2, e o material usado para o fundo e a tampa, mais espesso, custa o dobro. Siga o roteiro para descobrir as dimensões da lata que minimizam o custo.

a. Sendo x o lado da base e h a altura da lata, escreva expressões para a área da base Ab e para a área lateral Al.

b. Escreva uma expressão para o custo C da lata em termos de x e h.

c. Escreva uma expressão para o volume V da lata em termos de x e h, e iguale a 12.
Obs.: x e h estarão em dm, já que 1 l = 1 dm3.

d. Isole h na expressão obtida para obter uma expressão de C apenas em termos de x.

e. Calcule C′ (dica: lembre que 1/x = x^-1)

f. Resolva C=0 para mostrar que valor ótimo é x = 3^√12, e dê uma
aproximação decimal para o lado da base da lata, em centímetros.

g. Obtenha também a altura h desejada, em centímetros.(dica: use a letra d)

[olgario]

Olá.
Vamos lá então seguir o roteiro.

a) [tex3]Ab=x^2[/tex3]
[tex3]\;\;\,Al=x.h[/tex3]

b) [tex3]C=4\$(x^2)\,+\,2\$(4x.h)[/tex3]

c) [tex3]V=x^2.h[/tex3]
[tex3]\;\;\,12\,=\,x^2.h[/tex3]
[tex3]\;\;x^2.h\,=\,12\,dm^3[/tex3]

d) [tex3]h=\frac{12}{x^2}[/tex3]
[tex3]\;\;C\,=\;4(x^2)\,+\,2(4x.h)[/tex3]
[tex3]\;\;C\,=\,4(x^2)\,+\,2\(4x\,\cdot\,\frac{12}{x^2}\)[/tex3]
[tex3]\;\;C\,=\,4x^2\,+\,\frac{96x}{x^2}[/tex3]
[tex3]\;\;C\,=\,4x^2\,+\,96x^{^{1}}.x^{^{-2}}[/tex3]
[tex3]\;\;C\,=\,4x^2\,+\,96x^{^{-1}}[/tex3]


e) [tex3]C'(x)\,=\,2(4)x^{{^{2-1}}}\,+\,[-1(96)x^{^{-1-1}}][/tex3]
[tex3]\;\;\,C'(x)\,=\,8x\,-96.x^{-2}[/tex3]
[tex3]\;\;\,C'(x)\,=\,8x-96\cdot\,\frac{\,1\,}{x^2}[/tex3]
[tex3]\;\;\,C'(x)\,=\,8x-\frac{\,96\,}{x^2}[/tex3]

Fazendo [tex3]C\,=\,0[/tex3] e tirando denominadores.
f) [tex3]\frac{8x}{1}\,-\,\frac{96}{x^2}\,=\,0\;[/tex3]
[tex3]\;\;\,8x^3-\,96\,=\,0\;\rightarrow\;8x^3\,=\,96\;\rightarrow\;x^3\,=\,\frac{96}{8}\;\rightarrow\;x^3\,=\,12\;\rightarrow\;ed{x\,=\,\sqrt[3]{12}}*\;\rightarrow\:x\,=\,2,289\,dm\;\rightarrow\;\boxed{x\,=\,22,89\,cm}[/tex3]


g) [tex3]h\,=\,\frac{12}{x^2}[/tex3]
[tex3]\;\;\,h\,=\,\frac{12}{2,289^2}[/tex3]
[tex3]\;\;\,h\,=\frac{12}{5,240}[/tex3]
[tex3]\;\;\,h\,=\,2,290\,dm[/tex3]
[tex3]\;\;\,\boxed{h\,=\,22,90\,cm}[/tex3]

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Confirmação.
[tex3]V\,=\,x^2.h[/tex3]
[tex3]V\,=\,22,89^2\,\times\,22,90[/tex3]
[tex3]V\,=\,524\,cm^2\times\,22,90\,cm[/tex3]
[tex3]V\,=\,11999,6\, cm^3[/tex3]
[tex3]V\,=\,11,9996\,dm^3[/tex3]
[tex3]V\,\approx\,12\;Litros[/tex3]

[tex3]*[/tex3] Para a próxima para evitar ambiguidades use o Latex.

Espero ter ajudado.