IME / ITA ⇒ (AFA - 2003) Geometria Plana Tópico resolvido

[brunoafa]

[tex3]ABC[/tex3] é um triângulo retângulo em [tex3]A[/tex3] e [tex3]\overline{CX}[/tex3] é bissetriz do ângulo [tex3]B\hat{C}A[/tex3], onde [tex3]x[/tex3] é um ponto do lado [tex3]\overline{AB}[/tex3]. A medida [tex3]\overline{CX}[/tex3] é [tex3]4[/tex3] cm e a de [tex3]\overline{BC}[/tex3], [tex3]24[/tex3] cm.

Sendo assim, a medida do lado [tex3]\overline{AC}[/tex3], em centímetros, é igual a

a) 3
b) 4
c) 5
d) 6

Achei 4,8 cm. To louco?

[Gauss]

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No [tex3]\Delta ACX[/tex3]:

[tex3]cos\ \theta =\frac{AC}{4}\rightarrow AC=4cos\ \theta \ (I)[/tex3]

No [tex3]\Delta ABC[/tex3]:

[tex3]cos\ 2\theta =\frac{AC}{24}\rightarrow AC=24cos\ 2\theta \ (II)\\\\(I)=(II)\rightarrow 24cos\ 2\theta =4cos\ \theta \\\\6(-1+2cos^2\theta )-cos\ \theta =0\\\\12cos^2\theta -cos\ \theta -6=0\\\\cos\ \theta =u\rightarrow 12u^2-u-6=0\rightarrow \begin{cases}
\cancel{u'=-\frac{2}{3}} \\
u''=\frac{3}{4}
\end{cases}\\\\cos\ \theta =u''\rightarrow cos\ \theta =\frac{3}{4}\\\\cos\ \theta =\frac{3}{4}\rightarrow (I)\\\\AC=4.\left(\frac{3}{4}\right)\rightarrow \boxed {AC=3\ cm}[/tex3]

Imagino que seja isto!

[brunoafa]

Valeu fera!

Usar o teorema da bissetriz interna fazendo que [tex3]\frac{AC}{AX}=\frac{BC}{BX}[/tex3] ajudaria em algo? Tentei fazer isso e depois achar uma relação entre [tex3]\overline{AX}[/tex3] e [tex3]\overline{BX}[/tex3] usando semelhança de triângulos mas não deu certo.

[Gauss]

Cara, tentei fazer pelo Teorema das Bissetrizes Internas, mas não saiu nada.