IME / ITA ⇒ (AFA 2003) Binômio de Newton Tópico resolvido

[brunoafa]

No desenvolvimento de [tex3]\left(x^r+x^{-r} \right)^n[/tex3], ordenado pelas potências decrescentes de [tex3]x[/tex3], sendo [tex3]r>0[/tex3] e [tex3]n[/tex3] natural, o coeficiente do [tex3]5[/tex3]º termo que é independente de [tex3]x[/tex3] é igual a:

a)[tex3]252[/tex3]
b)[tex3]70[/tex3]
c)[tex3]10[/tex3]
d)[tex3]8[/tex3]

Eu fiz

[tex3]\left(x^r+\frac{1}{x^r}\right)^n = \begin{pmatrix} n \\ p \end{pmatrix}(x^r)^{n-p}(x^{-r})^{p} \rightarrow \begin{pmatrix}n \\ 4 \end{pmatrix}(x)^{rn-2rp} \\ \\ \\

rn=2rp \\ \\
\rightarrow \boxed{n=2p}[/tex3]

Ta, mas e ai? Como é que eu descubro o [tex3]p[/tex3]?

[undefinied3]

p=5 por hipótese?

[brunoafa]

p=5 por hipótese?

Na verdade era para ser quatro ali. Eu usei aquela propriedade [tex3]T_{p+1}={n \choose p} \cdot a^p \cdot x^{n-p}[/tex3]

[undefinied3]

Ah sim, esqueci que é p+1

[brunoafa]

Ah sim, esqueci que é p+1

E a resolução, tem ideia de como seja? kk

[futuromilitar]

Olá, brunoafa. Observe como se faz:

Primeiro, determinaremos o termo geral:

[tex3]T_{p+1}[/tex3]=[tex3]C^p_{n}(x^r)^{n-p}(x^{-r})^p[/tex3]

[tex3]T_{p+1}[/tex3]=[tex3]C^p_{n}.x^{rn-rp}.x^{-rp}=C^p_{n}.x^{rn-rp--rp}=[/tex3]

[tex3]T_{p+1}=C^p_{n}.x^{-2rp+rn}[/tex3]

Se o termo independente é o 5°, então, temos que [tex3]p=4[/tex3]

Assim: [tex3]-2rp+rn=0[/tex3] [tex3]\Rightarrow[/tex3] [tex3]rn=2rp[/tex3] [tex3]\Rightarrow[/tex3] [tex3]n=2p[/tex3] [tex3]\Rightarrow[/tex3]

[tex3]n=2x4=8[/tex3]

Se [tex3]n=8[/tex3], então, o coeficiente vale [tex3]C_8^{4}=\frac{8!}{4!. 4!}=[/tex3] [tex3]\boxed{\boxed{x=70}}[/tex3]

Boa prova amigo. Nos vemos na AFA hahaha