Pré-Vestibular ⇒ (UDESC-SC) Inequação e Funções Tópico resolvido

[caosilver]

Sejam [tex3]f \ e \ g[/tex3] as funções definidas por [tex3]f(x)=\frac{2x+18}{x+1}[/tex3] e [tex3]g(x)=\sqrt[3]{x+1}[/tex3]. O conjunto solução da inequação [tex3]f \left[g^{-1}(x)\right]\leq 1+\left[g(x)\right]^3[/tex3] é:

Resposta

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[tex3]\left\{x\in \mathbb{R} \ | -2\leq x<0 \ ou \ x\geq 2\right \}[/tex3]

[caosilver]

@caosilver,

[tex3]g(x) = \sqrt[3]{x+1}[/tex3]:
para encontrar a inversa trocamos x por y e isolamos y:[tex3]x = \sqrt[3]{y+1} \implies x^3 = y + 1 \implies y = x^3 - 1 \therefore g^{-1}(x) = x^3 - 1[/tex3].
Agora, substituímos na expressão [tex3]f(g^{-1}(x)) \leq 1 + (g(x))^3[/tex3].
Lado esquerdo:Substituímos [tex3]g^{-1}(x) em f(x) = \frac{2x+18}{x+1}:\\
f(x^3 - 1) = \frac{2(x^3 - 1) + 18}{(x^3 - 1) + 1} = \frac{2x^3 - 2 + 18}{x^3} = \frac{2x^3 + 16}{x^3}[/tex3]
Lado direito:[tex3]1 + (\sqrt[3]{x+1})^3 = 1 + (x + 1) = x + 2[/tex3]
Temos agora:[tex3]\frac{2x^3 + 16}{x^3} \leq x + 2 \implies 2 + \frac{16}{x^3} \leq x + 2 \implies\frac{16}{x^3} \leq x\\
\frac{16}{x^3} - x \leq 0 \implies \frac{16 - x^4}{x^3} \leq 0\\16 - x^4 = (4 - x^2)(4 + x^2) = (2 - x)(2 + x)(4 + x^2)\\\therefore\frac{(2 - x)(2 + x)(4 + x^2)}{x^3} \leq 0[/tex3].
Análise de Sinais: Como (4 + x²) é sempre positivo para qualquer x real, ele não altera o sinal da expressão. Analisamos os sinais de [tex3](2-x), (2+x) ~e~ x^3[/tex3]
[tex3]\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
Intervalo & 2-x &2+x &x^3&Resultado\\
\hline
x \le -2 &+ &-&-&+ \\
\hline
-2 \le x < 0 & + & +&-&\boxed{-} \\
\hline
0 < x \leq 2&+&+&+&+\\
\hline
x \geq 2&-&+&+&\boxed{-}\\
\hline
\end{array}[/tex3]
O valor x=0 deve ser excluído pois zera o denominador. Os valores x=-2 e x=2 são incluídos pois a inequação é [tex3]\leq 0[/tex3].O conjunto solução é: =[tex3] \{x \in \mathbb{R} \mid -2 \leq x < 0 \text{ ou } x \geq 2\}[/tex3]