IME / ITA ⇒ (ITA - 1995) Equação Logarítmica Tópico resolvido

[Cinthia]

Se [tex3]x[/tex3] é um número real positivo, com [tex3]x\,\neq\, 1[/tex3] e [tex3]x \,\neq\, \frac{1}{3},[/tex3] satisfazendo

• [tex3]\Large\frac{2\,+\,\log_3\, x}{\log_{(x+2)}\, x}\large\, -\, \Large\frac{\log_x \,(x\,+\,2)}{1\,+\, \log_3\, x}\large\,=\, \log_x \,(x\,+\,2),[/tex3]

então [tex3]x[/tex3] pertence ao intervalo [tex3]I,[/tex3] onde:

a) [tex3]I= \left]0,\, \frac {1}{9}\right[[/tex3]
b) [tex3]I= \left]0,\,\frac{1}{3}\right[[/tex3]
c) [tex3]I= \left]\frac{1}{2},\,1\right[[/tex3]
d) [tex3]I= \left]1,\, \frac {3}{2}\right[[/tex3]
e) [tex3]I= \left]\frac{3}{2},\, 2\right[[/tex3]

Alguem sabe responder?

[Thadeu]

[tex3]\frac{2+\log_3x}{\frac{\log_xx}{\log_x(x+2)}}-\,\frac{\log_x(x+2)}{1+\log_3x}=\,\log_x(x+2)[/tex3]

Fazendo [tex3]\log_3x=A\,\,\,\,\,e\,\,\,\,\,\log_x(x+2)=B[/tex3]

[tex3]\frac{2+A}{\frac{1}{B}}-\frac{B}{1+A}=B\\B(2+A)-B(\frac{1}{1+A})=B\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(\div\,B)\\2+A-\,\frac{1}{1+A}=1\,\Rightarrow\,2+2A+A+A^2-1=1+A\,\Rightarrow\,A^2+2A=0[/tex3]

[tex3]A=0\,\,\,\,ou\,\,\,\,\,\,A=-2\\\log_3x=0\,\Rightarrow\,x=3^0\,\Rightarrow\,x=1[/tex3]
Não convém pois [tex3]x\,\neq\,1[/tex3]

[tex3]A=-2\,\Rightarrow\,\log_3x=-2\,\Rightarrow\,x=3^{-2}\,\Rightarrow\,x=\,\frac{1}{9}\\0\,<\,\frac{1}{9}\,<\,\frac{1}{3}[/tex3]

Resp b

Essa foi a resposta que eu encontrei

[Auto Excluído (ID:20047)]

Thadeu,

Não entendi como deduziu a desigualdade...como chegou ao [tex3]0<\frac{1}{9}<\frac{1}{3}[/tex3] ?

Foi simplesmente por análise de alternativa?Por que o [tex3]0<\frac{1}{9}< t[/tex3] está claro,mas no lugar do t poderia ser qualquer número.Como temos apenas alternativas que excluiríam o [tex3]\frac{1}{9}[/tex3] a gente deduz que a alternativa correta seria a única que corresponde ao intervalo que contém [tex3]\frac{1}{9}[/tex3].Foi assim que deduziu ?