Ensino Superior ⇒ Integral: Massa de uma Placa Tópico resolvido

[roberto]

Calcule a massa de uma placa fina que cobre a região exterior à circunferência de raio [tex3]r=3[/tex3] e a região interna à circunferência [tex3]r=6\text{sen}(t),[/tex3] se a densidade for [tex3]d(x,y)=\frac{1}{r}.[/tex3]

[Rafa2604]

Calcule a massa de uma placa fina que cobre a região exterior à circunferência de raio r=3 e a região interna à circunferência r=6sen(t), se a densidade for d(x,y)=1/r.

Temos que massa é: [tex3]M = \iint_{R}\delta(x,y) dA[/tex3]
A região da placa fina é a região exterior à circunferência de raio r=3 e a região interior da circunferência r=6sen(t),
então a variação do raio é: 3 [tex3]\leq[/tex3] r [tex3]\leq[/tex3] 6sen(t). Portanto, podemos encontrar a variação de t igualando 3=6sen(t):
3 = 6sen(t) --> sen(t) = 3/6 --> sen(t) = 1/2 --> t = arcsen(1/2) --> t = [tex3]\pi/6[/tex3]. Então, temos que. fazendo o desenho dos raios encontrados na forma polar temos que: [tex3]\pi/6 \leq t \leq 5\pi/6[/tex3].

Portanto, temos que:
[tex3]M = \iint_{}\frac{1}{r} r \, dr \, dt = \iint_{3}^{6\sen(t)} dr \, dt = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5\pi}{6}}[ r ]_{3}^{6\sen(t)} \, dt = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5\pi}{6}} [ 6\sen(t) - 3 ] \, dt = \\ \;\; = [-6\cos(t) - 3t]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5\pi}{6}} = \[-6\cos(5\pi/6) -3\frac{5\pi}{6} - \(-6\cos\(\frac{\pi}{6}\) -3\cdot\frac{\pi}{6}\)\] = \\ \; \; = \[ 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{5\pi}{2} + 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{2}\] = 6\sqrt{3} - 2\pi[/tex3]