Ensino Superior ⇒ Autovalores e autovetores Tópico resolvido

[ALANSILVA]

Ache os autovalores e os autovetores correspondentes e (quando possível) dê as matrizes [tex3]S, D[/tex3] com [tex3]A=SD[/tex3][tex3]S^{-1}[/tex3]

[tex3]A[/tex3]=[tex3]\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
0 & -1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

[Rafa2604]

Ache os autovalores e os autovetores correspondentes e (quando possível) dê as matrizes S, D com A=SDS [tex3]^{-1}[/tex3]

Seja [tex3]A=\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 0 & -1 \\ \end{pmatrix}[/tex3], então temos que:
det [tex3](A-\lambda I) = \begin{vmatrix}
1-\lambda & 2\\
0 & -1-\lambda
\end{vmatrix} = (1-\lambda)(-1-\lambda) - 2.0 = \lambda^{2}-1 = 0 \rightarrow \lambda^{2}=1 \rightarrow \lambda_{1} = 1 \;\; \lambda_{2}=-1[/tex3]

Encontremos agora os autovetores associados aos autovalores encontrados:

[tex3]\lambda_{1}=1 \rightarrow (A-1I|0) = \begin{pmatrix}
0 & 2 \\
0 & -2
\end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
0 & -1
\end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{pmatrix} \rightarrow x=livre=1 \;\; y = 0 \; \rightarrow k_{1}= \begin{bmatrix}
1\\
0
\end{bmatrix}[/tex3]

[tex3]\lambda_{2}=-1 \rightarrow (A+1I|0) = \begin{pmatrix}
2 & 2 \\
0 & 0
\end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix}
1 & 1 \\
0 & 0
\end{pmatrix} \rightarrow x+y=0 \rightarrow x = -y \;\; y = livre = -1 \; \rightarrow k_{2}= \begin{bmatrix}
1\\
-1
\end{bmatrix}[/tex3]

Como os vetores são LI, temos que D é a matriz diagonal com os autovalores e S a matriz com os autovetores, respectivamente.
Portanto, temos que: [tex3]D = \begin{bmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{bmatrix}[/tex3] e [tex3]S = \begin{bmatrix}
1 & 1\\
0 & -1
\end{bmatrix}[/tex3].

[ALANSILVA]

Rafa está certinho muito obrigado

[ALANSILVA]

[tex3]S[/tex3] é matriz invervível????

[Rafa2604]

[tex3]S[/tex3] é matriz invervível????

Sim, vamos verificar para confirmar: (:

[tex3]P = \begin{pmatrix}a & b \\c & d \\ \end{pmatrix} \rightarrow P^{-1} = \frac{1}{\text{detP}}. \begin{pmatrix}d & -b \\ -c & a \\ \end{pmatrix}[/tex3]

Uma matriz é inversível se [tex3]P.P^{-1} = I[/tex3]

Como temos que [tex3]S = \begin{bmatrix}1 & 1\\ 0 & -1\end{bmatrix}[/tex3], então [tex3]S^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{bmatrix}-1 & -1\\ 0 & 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 1\\ 0 & -1\end{bmatrix}[/tex3]

Portanto, temos que verificar se [tex3]S.S^{-1} = I[/tex3].
[tex3]S.S^{-1} = \begin{bmatrix}1 & 1\\ 0 & -1\end{bmatrix}. \begin{bmatrix}1 & 1\\ 0 & -1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1.1+1.0 & 1.1+1.(-1)\\ 0.1+(-1).0\;\; & 0.1+(-1).(-1)\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix} = I[/tex3]

Logo, S é invertível.