Ensino Superior ⇒ Derivadas parciais

[Natan]

Considere a função:

[tex3]f(x,\, y)=\begin{cases} \frac{y^3}{x^2+y^2} & (x,\, y) \neq (0,\, 0) \\ 0 & (x,\, y)=(0,\, 0) \end{cases}[/tex3]

então calcule:

[tex3]a)\, \frac{\partial f}{ \partial x} \\ b)\, \frac{\partial f}{ \partial y}[/tex3]

[Rafa2604]

[tex3]f(x,\, y)=\begin{cases} \frac{y^3}{x^2+y^2} & (x,\, y) \neq (0,\, 0) \\ 0 & (x,\, y)=(0,\, 0) \end{cases}[/tex3]

Portanto, devemos derivar [tex3]f(x,y) = \frac{y^3}{x^2+y^2}[/tex3].
Em ambas derivadas, usaremos a regra do quociente.

[tex3]a)\, \frac{\partial f}{ \partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{y^3}{x^2+y^2}\right) = \frac{1\cdot (x^{2}+y^{2})-y^{3}\cdot (2x)}{(x^{2}+y^{2})^{2}} = \frac{x^{2}+y^{2}-2xy^{3}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}[/tex3]


[tex3]b)\, \frac{\partial f}{ \partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\left( \frac{y^3}{x^2+y^2}\right) = \frac{3y^{2}\cdot (x^{2}+y^{2})-y^{3}\cdot (2y)}{(x^{2}+y^{2})^{2}} = \frac{3x^{2}y^{2}+3y^{4}-2y^{4}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} = \frac{3x^{2}y^{2}+y^{4}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}[/tex3]

[Radius]

hello, essas derivadas que vc achou são para (x,y) diferente de 0.
é preciso usar a definição para esse ponto.

[Natan]

Verdade! Perceba que essas expressões que vc encontrou não servem para calcular a derivada de f no ponto (0,0).