Ensino Médio ⇒ Matrizes Tópico resolvido

[DaniStone]

Alessandra, Joana e Sônia vendem saladas prontas, contendo porções de tomate, pimentão e repolho. A matriz M fornece o número de porções de tomate, pimentão e repolho usadas na composição das saladas. A matriz N fornece, em reais, o custo das saladas.

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Sabendo-se que o determinante de M é não nulo, obtém-se a matriz que fornece, em reais, o custo de cada porção de tomate, pimentão e repolho, efetuando-se a multiplicação:
a) MN
b) [tex3]NM^{-1}[/tex3]
c) [tex3]MN^{-1}[/tex3]
d) [tex3]M^{-1}N[/tex3]
e) [tex3]N^{-1}M[/tex3]

[DaniStone]

@DaniStone,

Matriz M (3x3): Representa a quantidade de ingredientes por pessoa.
Linhas: Alessandra, Joana, Sônia.
Colunas: Tomate (T), Pimentão (P), Repolho (R).
Matriz N (3x1): Representa o custo total da salada de cada pessoa ([tex3]Q_1, Q_2, Q_3[/tex3]).
X a matriz que queremos descobrir, que contém os preços unitários de cada ingrediente[tex3]: X = \begin{bmatrix} p_T \\ p_P \\ p_R \end{bmatrix}[/tex3]
O custo total (N) é o resultado da quantidade de ingredientes (M) multiplicada pelo preço de cada um (X). Portanto: M . X = N
Como o enunciado afirma que o determinante de M é não nulo sabemos que a matriz inversa [tex3]M^{-1}[/tex3] existe.
Para isolar X, multiplicamos ambos os lados da equação pela esquerda por [tex3]M^{-1}[/tex3]:
[tex3]M^{-1} \cdot (M \cdot X) = M^{-1} \cdot N \implies I \cdot X = M^{-1} \cdot N\\
\therefore \boxed{X = M^{-1} \cdot N}[/tex3]