Ensino Superior ⇒ Derivada por definição Tópico resolvido

[FilipeDLQ]

Olá pessoal preciso calcular a derivada abaixo por definição f '(x)=[tex3]\lim \frac{f(x+h)-f(x)}{h}[/tex3] quando h [tex3]\rightarrow 0[/tex3] , mas não estou conseguindo de maneira alguma. Alguém poderia me ajudar?

f(x) = [tex3]\frac{1}{\sqrt{x+1}}[/tex3]

Resposta

---

[tex3]\frac{-1}{2} (x+1)^{-3/2}[/tex3]

[VALDECIRTOZZI]

[tex3]f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\frac{1}{\sqrt{x+h+1}}-\frac{1}{x+1}}{h}=[/tex3]
[tex3]f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\frac{1}{\sqrt{x+h+1}}-\frac{1}{\sqrt{x+1}}}{h}\cdot\frac{\frac{1}{\sqrt{x+h+1}}+\frac{1}{\sqrt{x+1}}}{\frac{1}{\sqrt{x+h+1}}+\frac{1}{\sqrt{x+1}}}=[/tex3]
[tex3]f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\frac{1^2}{\left(\sqrt{x+h+1}\right)^2}-\frac{1^2}{\left(\sqrt{x+1}\right)^2}}{h\cdot \left(\frac{1}{\sqrt{x+h+1}}+\frac{1}{\sqrt{x+1}}\right)}=[/tex3]
[tex3]f(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\frac{1}{x+h+1}-\frac{1}{x+1}}{h\cdot \left(\frac{1}{\sqrt{x+h+1}}+\frac{1}{\sqrt{x+1}}\right)}=[/tex3]
[tex3]f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{\frac{x+1-(x+h+1)}{(x+h+1) \cdot (x+1)}}{h\cdot \left(\frac{1}{\sqrt{x+h+1}}+\frac{1}{\sqrt{x+1}}\right)}=[/tex3]
[tex3]f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\frac{\cancel{x}\cancel{+1}\cancel{-x}-h\cancel{-1}}{(x+h+1)\cdot(x+1)}}{h\cdot \left(\frac{1}{\sqrt{x+h+1}}+\frac{1}{\sqrt{x+1}}\right)}=[/tex3]
[tex3]f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\frac{-h}{(x+h+1) \cdot(x+1)}}{h\cdot \left(\frac{1}{\sqrt{x+h+1}}+\frac{1}{\sqrt{x+1}}\right)}=[/tex3]
[tex3]f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\frac{\cancel{-h}}{(x+h+1)\cdot(x+1)}}{\cancel{h}\cdot \left(\frac{1}{\sqrt{x+h+1}}+\frac{1}{\sqrt{x+1}}\right)}[/tex3]
[tex3]f'(x)=\lim_{h\rightarrow0}-\frac{\frac{1}{(x+h+1) \cdot(x+1)}}{\frac{1}{\sqrt{x+h+1}}+\frac{1}{\sqrt{x+1}}}[/tex3]
[tex3]f'(x)=-\frac{\frac{1}{(x+0+1)\cdot(x+1)}}{\frac{1}{\sqrt{x+0+1}}+\frac{1}{\sqrt{x+1}}}[/tex3]
[tex3]f'(x)=-\frac{\frac{1}{(x+1)^2}}{\frac{2}{\sqrt{x+1}}}=-\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{x+1}}{(x+1)^2}=-\frac{1}{2}\cdot \frac{(x+1)^{\frac{1}{2}}}{(x+1)^2}=[/tex3]
[tex3]f'(x)=-\frac{1}{2}\cdot (x+1)^{\frac{1}{2}-2}=-\frac{1}{2}\cdot (x+1)^{-\frac{3}{2}}[/tex3]

Espero ter ajudado!