Olimpíadas ⇒ (Bélgica - 1996) Geometria Plana Tópico resolvido

[Gu178]

Um triângulo abc com |ac|=B, |ab|=C e |bc|=A satisfaz [tex3]\frac{1}{A+B}+\frac{1}{B+C}=\frac{3}{A+B+C}[/tex3]. O ângulo b mede:

Resposta

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60°

[Ittalo25MOD]

[tex3]\frac{1}{A+B}+\frac{1}{B+C}=\frac{3}{A+B+C}[/tex3]
[tex3]1+\frac{C}{A+B}+1+\frac{A}{B+C}=3[/tex3]
[tex3]\frac{C}{A+B}+\frac{A}{B+C}=1[/tex3]
[tex3]A^2+C^2 = AC+B^2[/tex3]

Lei dos cossenos:

[tex3]A^2+C^2 = AC+B^2[/tex3]
[tex3]A^2+C^2 = AC+A^2+C^2- 2\cdot A \cdot C \cdot cos(B)[/tex3]
[tex3]0 = 1- 2 \cdot cos(B)[/tex3]
[tex3]cos(B) = \frac{1}{2}\rightarrow B = 60^o[/tex3]

[Gu178]

Valeu amigo.