Ensino Médio ⇒ Função Afim Tópico resolvido

[Logica²]

A função afim cujo gráfico passa pelo ponto [tex3](2, 3)[/tex3] e forma com os eixos coordenados um triângulo com [tex3]12[/tex3] unidades quadradas de área é:

a) [tex3]f(x)=5 - x[/tex3]
b) [tex3]f(x)=6 - \frac{3}{2}x[/tex3]
c) [tex3]f(x)=8 - \frac{5}{2}x[/tex3]
d) [tex3]f(x) = 7 - 2x[/tex3]
e) [tex3]f(x) = 9 - 3x[/tex3]

eu não consegui decobrir essa aqui não me ajudem...

[cajuADMIN]

Olá Logica²,

Digamos que a equação da reta seja [tex3]f(x)=ax+b[/tex3]. O desenho desta reta seria:

FA.png (8.39 KiB) Exibido 8302 vezes

Note que não sabemos qual o ponto [tex3](k,\, 0)[/tex3], mas iremos descobrir através da área dada.

A base do triângulo será igual, em módulo, ao valor [tex3]k[/tex3]. A altura do triângulo será igual ao coeficiente linear [tex3]b[/tex3]. A área do triângulo cinza na figura é dado pela fórmula

(1) [tex3]A=\frac{k\cdot b}{2}[/tex3]

Sendo que o ponto [tex3](k,0)[/tex3] é um ponto da reta, deverá satisfazer a sua equação. Substituindo [tex3](k,0)[/tex3] na equação [tex3]f(x)=ax+b[/tex3], temos:

[tex3]0=a\cdot k+b[/tex3]

[tex3]k=-\frac{b}{a}[/tex3]

Podemos então substituir este valor de [tex3]b[/tex3] em (2) e também substituir em (2) o valor da área=12:

[tex3]12=\frac{-\frac{b}{a}\cdot b}{2}[/tex3]

[tex3]12=\frac{-b^2}{2a}[/tex3]

(2) [tex3]b^2+24a=0[/tex3]

Guardamos esta equação e vamos encontrar uma segunda equação para montar um sistema de equações.

Podemos substituir o ponto [tex3](2,\, 3)[/tex3] na equação da reta e obter:

(3) [tex3]3=2a+b[/tex3]

Agora com (2) e (3) temos um sistema de equações. Resolvendo este sistema encontramos [tex3]b=6[/tex3] e [tex3]a=-\frac{3}{2}[/tex3]

Portanto, a equação da reta fica:

[tex3]f(x)=-\frac{3}{2}x+6[/tex3]

Alternativa correta, (b).

[Logica²]

Professor Caju muito obrigado mesmo, otimo forum para aqueles que querem passar no vestibular, muito obrigado!

[ViluBace]

Olá,o gráfico desenhado na resposta não deveria ser decrescente, visto a < 0 em f (x)=ax+b?

[cajuADMIN]

Olá ViluBace,

Você está corretíssimo na colocação. Deveria ser uma reta decrescente.

Mas, isso é uma conclusão que tiramos DEPOIS de resolver a questão. Antes da resolução só sabemos que a reta passa pelo ponto (2,3), sem saber se é crescente ou decrescente.

Então o desenho que apresentei foi um desenho genérico, só pra dar uma ajuda pra visualizar a resolução. Se o enunciado pedisse o desenho, ao final da resolução deveria ser desenhado novamente, com a inclinação correta.

Grande abraço,
Prof. Caju

[inguz]

Oie !! Boa noite ! Não consegui desenvolver o sistema de equações, alguém poderia detalhar essa parte ? Obrigada desde já

[petrasMOD]

inguz,

[tex3]\begin{cases}
b^2+24a = 0 \\
3 =2a+b\rightarrow b = 3-2a
\end{cases}\\(3-2a)^2 + 24a = 0\\
9-12a+4a^2+24a = 0\rightarrow 4a^2+12a+9=0\\
\Delta = 0\therefore a =-\frac{12}{8}=-\frac{3}{2} \\
b = 3-2(-\frac{3}{2})=3+3=6
[/tex3]

[inguz]

Petras como sempre vc sendo incrível no tira dúvidas, obrigada !!! Me diz uma coisa, em qual capítulo específico eu aprendo fazer sistema de equações, sem ser esse mais básico que a gente soma e substitui...????