Pré-Vestibular ⇒ (Unifesp) Função Trigonométrica

[NataliaVilela]

Considere a reta de equação 4x - 3y + 15 = 0, a senóide de equação y = sen(x) e o ponto P = ([tex3]\pi[/tex3]/2, 3), conforme a figura.

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A soma das distâncias de P à reta e de P à senóide é:


Resposta: (16 + 2 [tex3]\pi[/tex3])/5

[Gauss]

Olá, Natalia!

[tex3]D_1=\frac{|ax+by+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\rightarrow D_1=\frac{|4.\left(\frac{\pi }{2}\right)-3.(3)+15|}{\sqrt{(4)^2+(3)^2}}\rightarrow D_1=\frac{2\pi +6}{5}\\\\x=\frac{\pi }{2}\rightarrow y=sen\ \left(\frac{\pi}{2}\right)\rightarrow y=1\rightarrow \left(\frac{\pi }{2},1\right)\\\\D_2=\sqrt{\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2}\right)^2+(3-1)^2}\rightarrow D_2=2\\\\D_1+D_2=\frac{2\pi +6}{5}+2\rightarrow\ \therefore \ \boxed {D_1+D_2=\frac{16+2\pi}{5}}[/tex3]

Notas: - A distância de um ponto a uma reta é dada pela relação [tex3]D_1=\frac{|ax+by+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}[/tex3].

- Perceba que [tex3]\frac{\pi}{2}\in y=sen\ (x)[/tex3], desse modo, eu fiz [tex3]x=\frac{\pi}{2}[/tex3] para que eu eu pudesse achar y=1 e, portanto, obter a coordenada [tex3]\left(\frac{\pi }{2},1\right)[/tex3]. A partir daí eu apenas calculei a distância do ponto [tex3]\left(\frac{\pi }{2},1\right)[/tex3] ao ponto P, o que corresponde à distância do ponto P à senoide.

[NataliaVilela]

Quero lhe agradecer até aqui, pela atenção e pela explicação. Mas sobre a fórmula que usou para encontrar a distância de um ponto a uma reta, quero saber algo, o conteúdo dessa matéria é geometria analítica, não é? Recordo-me de já ter visto a fórmula, mas é algo muito vago.

[Gauss]

Disponha! Sim, as relações que utilizei (distância de ponto à reta e distância de ponto a ponto) são vistas na área de Geometria Analítica e, esta questão, mistura Geometria Analítica com um pouco de Trigonometria.