Pré-Vestibular ⇒ (PUC - RIO) Equação Trigonométrica Tópico resolvido

[NataliaVilela]

Para que valores de x vale [tex3][cos(x) + sen(x)]^{4}[/tex3] [tex3]- [cos(x) - sen(x)]^{4}[/tex3] [tex3]= 2[cos(x) + sen(x)]^{2} - [cos(x) - sen(x)]^2[/tex3]]?

Resposta

---

A equação vale para todo x.

PS: Quais são a linha de raciocínio de vocês para resolver equações trigonométricas? Conseguem resolvê-las com facilidade ou..? Preciso de ajuda.

[Auto Excluído (ID:16348)]

Oi,
Geralmente, você busca um padrão ou tenta tornar mais agradável a equação. No problema que você forneceu, creio que o correto é:
[tex3][cos(x) + sen(x)]^{4}- [cos(x) - sen(x)]^{4}= 2[(cos(x) + sen(x))^{2} - (cos(x) - sen(x))^2][/tex3]
Se você quer dá uma treinada com produtos notáveis, você encara esse monstro aí. Se você quer agilidade, você faz isso:
a = [tex3][cos(x) + sen(x)]^{2}[/tex3]
b = [tex3][cos(x) - sen(x)]^{2}[/tex3]
Justificável já que existe uma propriedade de Potenciação que permite fazer isso:
[tex3]a^{m\cdot n} = (a^{m})^n[/tex3], onde a é diferente de zero.
Daí,
[tex3][cos(x) + sen(x)]^{4}- [cos(x) - sen(x)]^{4}= 2[(cos(x) + sen(x))^{2} - (cos(x) - sen(x))^2][/tex3]
a = [tex3][cos(x) + sen(x)]^{2}[/tex3]
b = [tex3][cos(x) - sen(x)]^{2}[/tex3]
[tex3]a^{2}- b^{2}= 2\cdot (a -b)[/tex3]
[tex3](a+b)(a-b) = 2\cdot (a - b)[/tex3]
[tex3]a+b = 2[/tex3]
Então:
[tex3][cos(x) + sen(x)]^{2} + [cos(x) - sen(x)]^{2}= 2[/tex3]
[tex3]cos^2(x) + sen^2(x) + cos^2(x) + sen^2(x) = 2[/tex3]
[tex3]2cos^2(x) + 2sen^2(x) = 2[/tex3]
[tex3]2\cdot [cos^2(x) + sen^2(x)]= 2[/tex3], onde [tex3]cos^2(x) + sen^2(x)= 1[/tex3] para qualquer valor de x.

Até, Pedro.

[futuromilitar]

a=[tex3][cos(x) + sen(x)]^{2}[/tex3]

b=[tex3][cos(x) - sen(x)]^{2}[/tex3]

[tex3]a^4-b^4=2a^2-b^2 \rightarrow[/tex3]

[tex3]a^2(a^2-2)-b^2(b+1)[/tex3]=0[tex3]\rightarrow[/tex3]

[tex3]a^2=2[/tex3] [tex3]b^2=-1[/tex3]

[tex3]cos^2x+sen^2+2senx.cosx=-1[/tex3]
[tex3]-2.senx.cosx=-2[/tex3]
[tex3]senx.cosx=1[/tex3], para todo [tex3]x\in \mathbb{R}[/tex3]

[Auto Excluído (ID:16348)]

[tex3]senx.cosx=1[/tex3], para todo [tex3]x\in \mathbb{R}[/tex3]

Cuidado, futuromilitar. A condição de que sen(x).cos(x) = 1 é para todo x? Vale salientar que existem valores de x em que sen(x) = 0 ou cos(x) = 0.

Até, mano.