Concursos Públicos ⇒ (IFPE) Conjunto solução de equação Tópico resolvido

[antony]

Considere a equação [tex3]b^{x}=m(b^{x}+b^{-x})+b^{-x}[/tex3] na variável real [tex3]x[/tex3], com [tex3]b[/tex3] maior que zero e diferente de [tex3]1[/tex3]. O conjunto solução de todos os valores de m para os quais esta equação admite valores reais, é do tipo [tex3]]-a , a[[/tex3], onde [tex3]a[/tex3] é real. Assim, o valor de [tex3]a[/tex3] é:

a) [tex3]1[/tex3]
b) [tex3]2[/tex3]
c) [tex3]\frac12[/tex3]
d) [tex3]3[/tex3]
e) [tex3]\frac14[/tex3]

Resposta

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gabarito A.

[Auto Excluído (ID:16348)]

Oi,
[tex3]b^{x}=m(b^{x}+b^{-x})+b^{-x}[/tex3]
Substituiremos [tex3]b^x[/tex3] por c:

[tex3]c=m\(c+\frac{1}{c}\)+\frac{1}{c}[/tex3]
[tex3]c - \frac{1}{c} = m\(\frac{c^2 + 1}{c}\)[/tex3]
[tex3]\frac{c^2 - 1}{c} = m\(\frac{c^2 + 1}{c}\)[/tex3]
[tex3]\frac{c^2 - 1}{\no c} = m\(\frac{c^2 + 1}{\no c}\)[/tex3]
[tex3]c^2 - mc^2 -1 - m = 0[/tex3]
[tex3](1-m)\cdot c^2 - (m + 1) = 0[/tex3]

Faremos [tex3]\Delta \geq 0[/tex3] para obter um intervalo de valores reais:
[tex3]\Delta = b^2 - 4\cdot a\cdot c[/tex3]
[tex3]b^2 -4\cdot a\cdot c \geq 0[/tex3]
[tex3]0^2 -4\cdot (1-m)\cdot (-1-m) \geq 0[/tex3]
[tex3](1-m)\cdot (1+m) \geq 0[/tex3]

Chegamos em uma inequação como [tex3]f(x)\cdot g(x) \geq 0[/tex3] que tem duas saídas:
Saída 1) [tex3]f(x)\geq 0[/tex3] e [tex3]g(x)\geq 0[/tex3]
Saída 2) [tex3]f(x)\leq 0[/tex3] e [tex3]g(x)\leq 0[/tex3]
[tex3]S = (S_1 \cap S_2)\cup (S_3 \cap S_4)[/tex3]

Então:
Atribuindo f(x) = 1 - m e g(x) = 1 + m

Saída 1):

[tex3](1-m)\geq 0[/tex3]
[tex3]m\leq 1[/tex3]

[tex3]m+ 1 \geq 0[/tex3]
[tex3]m\geq -1[/tex3]
[tex3]S_1\cap S_2 = [-1;1][/tex3]

Saída 2):
[tex3]1 - m \leq 0[/tex3]
[tex3]m\geq 1[/tex3]

[tex3]1+m\leq 0[/tex3]
[tex3]m\leq -1[/tex3]
[tex3]S_3\cap S_4 = \{ \}[/tex3]
Logo,
S = [-1;1], o que implica que nosso a é 1.

Até, Pedro.

[jedi]

vamos fazer uma mudança de variavel

[tex3]b^x=y[/tex3]

então a equação fica

[tex3]y=m(y+\frac{1}{y})+\frac{1}{y}[/tex3]

[tex3]y^2=m(y^2+1)+1[/tex3]

[tex3](1-m)y^2=1+m[/tex3]

[tex3]y=\sqrt{\frac{1+m}{1-m}}[/tex3]

para que exista solução real o valor dentro da raiz tem que ser maior que 0 portanto

[tex3]\frac{1+m}{1-m}>0[/tex3]

analisando o sinal do numerador e do denominado

m+1 é positivo quando maior que -1

1-m é positivo quando m é menor que 1

portanto [tex3]\frac{1+m}{1-m}[/tex3] é positivo quando m esta no intervalo [tex3]]-1,1[[/tex3]