Olimpíadas ⇒ (OBM) Quadriláteros Inscritíveis II

[NãoCriativo]

(OBM) As diagonais de um quadrilátero inscritível ABCD se intersectam em O. Os círculos circunscritos aos triângulos AOB e COD intersectam as retas BC e AD, pela segunda vez, nos pontos M, N, O e Q. Prove que o quadrilátero MNPQ está inscrito em um círculo de centro O.

Alguma ideia para resolver isso?

[jedi]

circ_circunc.png (9.81 KiB) Exibido 2161 vezes

pela propriedade de cordas que em um circulo temos que

[tex3]OD.BO=CD.OA[/tex3]

[tex3]\frac{OD}{CD}=\frac{OA}{BO}[/tex3]

portanto o triângulos [tex3]\Delta AOD[/tex3] e [tex3]\Delta BOC[/tex3] são semelhantes então

[tex3]\begin{matrix} (1)&\angle{ODA}=\angle{OCB}\end{matrix}[/tex3]

como RN=RO=RC=RD=RM então

[tex3]\angle{NRD}=180^o-2.(\angle{ODA}+\angle{RDO})[/tex3]

[tex3]\angle{DRO}=180^o-2.\angle{RDO}[/tex3]

[tex3]\angle{NRO}=\angle{DRO}-\angle{NRD}[/tex3]

[tex3]\angle{NRO}=180^o-2.\angle{RDO}-180^o+2.(\angle{ODA}+\angle{RDO})[/tex3]

[tex3]\begin{matrix}(2) & \angle{NRO}=2.\angle{ODA}\end{matrix}[/tex3]

da mesma forma que

[tex3]\angle{MRC}=180^o-2.(\angle{OCB}+\angle{RCO})[/tex3]

[tex3]\angle{CRO}=180^o-2.\angle{RCO}[/tex3]

[tex3]\angle{MRO}=\angle{MRC}-\angle{RCO}[/tex3]

[tex3]\angle{MRO}=180^o-2.\angle{RCO}-180^o+2.(\angle{OCB}+\angle{RCO})[/tex3]

[tex3]\begin{matrix}(3)&\angle{MRO}=2.\angle{OCB}\end{matrix}[/tex3]

usando as equações (1), (2) e (3) chegamos em:

[tex3]\angle{MRO}=\angle{NRO}[/tex3]

como os triangulos [tex3]\Delta MRO[/tex3] [tex3]\Delta NRO[/tex3] são isoceles então eles são iguais pornto

[tex3]MO=NO[/tex3]

fazendo os mesmos cálculos para o outro lado chegamos em

[tex3]PO=QO[/tex3]

temos também que

[tex3]\angle ONQ=180-\angle ONR-\angle RND[/tex3]

[tex3]\angle ONQ=180-\frac{180+\angle NRO}{2}-\angle RND[/tex3]

[tex3]\angle ONQ=90+\frac{2.\angle ODA}{2}-\angle RND[/tex3]

[tex3]\angle ONQ=90+\angle ODA-\angle RND[/tex3]

[tex3]\begin{matrix}(4)&\angle ONQ=90-\angle RDO\end{matrix}[/tex3]

temos também

[tex3]\angle OQN=180-\angle OQS-\angle SQA[/tex3]

[tex3]\angle OQN=180-\frac{180+\angle QSO}{2}-\angle SQA[/tex3]

[tex3]\angle OQN=90+\frac{2.\angle OAD}{2}-\angle SQA[/tex3]

[tex3]\angle OQN=90+\angle OAD-\angle SQA[/tex3]

[tex3]\begin{matrix}(5)&\angle OQN=90-\angle SAO\end{matrix}[/tex3]

porém [tex3]\angle SAO =\angle RDO[/tex3] devido a semelhança dos triângulos [tex3]\Delta ABO[/tex3] e [tex3]\Delta DCO[/tex3]

então das equções (4) e (5)

[tex3]\angle ONQ = \angle OQN[/tex3]

portanto [tex3]ON=OQ[/tex3] logo

[tex3]ON=OQ=OP=OM[/tex3]

[NãoCriativo]

Obrigado Mestre Jedi! .....



"[tex3]\angle ONQ=180-\frac{180+\angle NRO}{2}-\angle RND[/tex3]"

Não seria [tex3]-\angle NRO[/tex3] ao invés de [tex3]+\angle NRO[/tex3]?



"porém [tex3]\angle SAO =\angle RDO[/tex3] devido a semelhança dos triângulos [tex3]\Delta ABO[/tex3] e [tex3]\Delta DCO[/tex3]"

Isso é válido? Eu posso aplicar isso em quaisquer triangulos semelhantes?

[jedi]

Bom dia amigo

É isso mesmo, você esta certo o sinal ali é -, deve ter sido um erro de digitação meu, obrigado

Na segunda questão, pelo fato dos triângulos serem semelhantes quando eu traço retas a partir do circuncentro até os vertices dos triangulos eu formo triangulos que também são semelhantes

Repare a figura

sem_triang.png (4.61 KiB) Exibido 2157 vezes

Os triangulos [tex3]\Delta ABC[/tex3] e [tex3]\Delta DEF[/tex3]

são semelhantes e possuem o mesmo circuncentro O, logo os triangulos [tex3]\Delta OAB[/tex3] e [tex3]\Delta ODE[/tex3] são semelhantes também
então eu concluo que seus angulos são iguais

[NãoCriativo]

Muito obrigado mais uma vez Mestre Jedi!

Pessoas como você fazem muita diferença : D