Física I ⇒ Cinemática: Uma Formiga e uma Gota de Mel

[ALDRINMOD]

Num vaso aberto, com formato de um cilindro circular reto, de altura igual a [tex3]30\text{ cm}[/tex3] e raio da base igual a [tex3]4\text{ cm}[/tex3], existe uma formiga e uma gota de mel.
A Formiga localiza-se num ponto da superfície externa do vaso a [tex3]4\text{ cm}[/tex3] da sua borda. A gota de mel, por sua vez, localiza-se na superfície interna do vaso, junto à borda, o mais afastado possível da formiga.
Sabe-se que a gota de mel escorre pela superfície interna do vaso a uma velocidade constante de [tex3]1\text{ cm/seg}[/tex3] e a formiga é capaz de caminhar, no máximo, a uma velocidade de [tex3]3\text{ cm/seg}[/tex3]. Calcular, em décimos de segundo, o tempo mínimo que a formiga gastará para alcançar a gota de mel. Despreze a espessura do vaso e adote para cálculos [tex3]\pi=3[/tex3].

Resposta

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[tex3]50[/tex3].

[rgsantos]

Quando tu planificas o cilindro tu tens um retângulo de dimensões [tex3]30\text{ cm}[/tex3] por [tex3]24\text{ cm}[/tex3]
(H por [tex3]2\pi\cdot R[/tex3]). Dos dados do exercícios constatamos que a planificação pode ser dada com a Formiga [tex3]F[/tex3] no "meio" do retângulo e o mel no ponto [tex3]M[/tex3]. Para a formiga entrar no menor tempo possível ela terá que sair de [tex3]F[/tex3] e caminhar ate um ponto [tex3]P[/tex3], na borda, e desse ponto [tex3]P[/tex3] entrar no cilindro e caminhar sobre a superfície interna até um ponto [tex3]T[/tex3], onde ela deverá encontrar o Mel, a distância mínima implicará um tempo mínimo, logo [tex3]MP + PT[/tex3] deve ser mínimo, usando alinhamento dos pontos, podemos prolongar [tex3]PQ[/tex3], de modo a termos [tex3]FQ = QF'[/tex3], daí [tex3]F'P = FP[/tex3], mas temos [tex3]F'[/tex3], [tex3]P[/tex3] e [tex3]T[/tex3] alinhados! Trace um reta ligando os pontos [tex3]F'[/tex3] , [tex3]P[/tex3] e [tex3]T[/tex3], se você prolongar [tex3]TM[/tex3] até um ponto [tex3]R[/tex3], com [tex3]RF'[/tex3] ortogonal a [tex3]MR[/tex3], teremos um triângulo retângulo [tex3]TRF'[/tex3], sabemos que [tex3]MQ =\frac{24}{2}[/tex3], isto é: [tex3]MQ=12\text{ cm}[/tex3], como [tex3]RF' =MQ[/tex3], temos [tex3]RF' = 12\text{ cm}[/tex3], por outro lado [tex3]F'T[/tex3] é a distância percorrida pela formiga, se [tex3]t[/tex3] for o tempo necessário para o encontro temos [tex3]distancia = velocidade \cdot tempo[/tex3] [tex3]F'T = 3\cdot t[/tex3] e [tex3]MT = 1\cdot t[/tex3], note que [tex3]MT[/tex3] é a distãncia percorrida pela gota de mel, como [tex3]TR = TM + MR[/tex3] vem que [tex3]TR = t+4[/tex3], pronto agora é só o teorema de pitágoras, com: hipotenusa [tex3]F'T = 3t[/tex3] e catetos [tex3]TR = t+4[/tex3] e [tex3]RF' = 12[/tex3].

[tex3](3t)^2 = (t+4)^2+12^2[/tex3]
[tex3]9t^2=t^2+8t+16+144[/tex3]
[tex3]8t^2-8t-160=0[/tex3]
[tex3]t^2-t-20=0[/tex3]
[tex3]t=-4[/tex3](não serve) ou [tex3]t=5[/tex3] segundos
como t deve ser expresso em décimos de segundos vem que [tex3]t = 50[/tex3] décimos de
segundos!


Eu achei essa questão resolvida; só mudei os códigos para adequá-la aqui no fórum.. mais se alguém souber exemplificá-la ficarei grato.. e se possível tiver uma desenho para exemplificar melhor!

abraços a todos...