Ensino Médio ⇒ Trigonometria: Identidade Trigonométrica Tópico resolvido

[João Fláudio Nascimento]

Demonstre que: [tex3]2 \,\cdot\,\sec \,x\,\cdot\, \text{tg}\,x =\frac{1}{\text{cossec}\,x\,-1} \,+\,\frac{1}{\text{cossec}\,x\,+\,1}[/tex3]

Olá, colegas!
Um abraço, o antigão.

[cajuADMIN]

Olá João,

Vou começar pelo lado esquerdo da igualdade:

[tex3]2 \cdot\sec(x)\cdot \tan(x)[/tex3]

[tex3]2 \cdot\frac{1}{\cos(x)}\cdot \frac{\sen(x)}{\cos(x)}[/tex3]

[tex3]\frac{2\cdot\sen(x)}{\cos^2(x)}[/tex3]

[tex3]\frac{2\cdot\sen(x)}{1-\sen^2(x)}[/tex3]

[tex3]\frac{2\cdot\sen(x)}{(1-\sen(x))\cdot(1+\sen(x))}[/tex3]

Agora que vem o pulo do gato, somamos e diminuímos no numerador o termo [tex3]\sen^2(x)[/tex3]

[tex3]\frac{2\cdot\sen(x)-\sen^2(x)+\sen^2(x)}{(1-\sen(x))\cdot(1+\sen(x))}[/tex3]

[tex3]\frac{\sen(x)+\sen(x)-\sen^2(x)+\sen^2(x)}{(1-\sen(x))\cdot(1+\sen(x))}[/tex3]

[tex3]\frac{\sen(x)-\sen^2(x)+\sen(x)+\sen^2(x)}{(1-\sen(x))\cdot(1+\sen(x))}[/tex3]

[tex3]\frac{\sen(x)\cdot(1-\sen(x))+\sen(x)\cdot(1+\sen(x))}{(1-\sen(x))\cdot(1+\sen(x))}[/tex3]

[tex3]\frac{\sen(x)\cdot\cancel{(1-\sen(x))}}{\cancel{(1-\sen(x))}\cdot(1+\sen(x))}+\frac{\sen(x)\cdot\cancel{(1+\sen(x))}}{(1-\sen(x))\cdot\cancel{(1+\sen(x))}}[/tex3]

[tex3]\frac{\sen(x)}{1+\sen(x)}+\frac{\sen(x)}{1-\sen(x)}[/tex3]

Agora devemos dividir o numerador e o denominador de cada fração por [tex3]\sen(x)[/tex3]

[tex3]\frac{\frac{\sen(x)}{\sen(x)}}{\frac{1}{\sen(x)}+\frac{\sen(x)}{\sen(x)}}+\frac{\frac{\sen(x)}{\sen(x)}}{\frac{1}{\sen(x)}-\frac{\sen(x)}{\sen(x)}}[/tex3]

[tex3]\frac{1}{\csc(x)+1}+\frac{1}{\csc(x)-1}[/tex3]

Como queríamos demonstrar.

[João Fláudio Nascimento]

Valeu, professor caju, esta é realmente a resposta que eu esperava. a trigonometria é linda.
Obrigado,Fláudio.