Pré-Vestibular ⇒ (FUVEST-2003) Função Logarítima Tópico resolvido

[NataliaVilela]

Seja f(x) = [tex3]\log_{3}[/tex3] (3x + 4) - [tex3]\log_{3}[/tex3] (2x - 1). Os valores de x, para os quais f está definida e satisfaz f(x) > 1, são:

Resposta

---

[tex3]\frac{1}{2}[/tex3] < x < [tex3]\frac{7}{3}[/tex3]

[Ittalo25MOD]

Condição de existência dos logaritmandos:

[tex3]\begin{cases}
3x+4>0\rightarrow x>-\frac{4}{3} \\
2x-1>0\rightarrow x>\frac{1}{2}
\end{cases}[/tex3]

Seguindo:

[tex3]f(x) > 1[/tex3]
[tex3]log_3(3x+4) - log_3(2x-1) > 1[/tex3]
[tex3]log_3\left(\frac{3x+4}{2x-1}\right) > 1[/tex3]
[tex3]\frac{3x+4}{2x-1} > 3^1[/tex3]
[tex3]\frac{3x+4}{2x-1} > 3[/tex3]
[tex3]\frac{3x+4}{2x-1}-3 >0[/tex3]
[tex3]\frac{3x+4-6x+3}{2x-1} >0[/tex3]
[tex3]\frac{-3x+7}{2x-1} >0[/tex3]

São 2 casos:

Numerador e denominador positivos:

[tex3]\begin{cases}
-3x+7>0 \rightarrow x < \frac{7}{3}\\
2x-1>0\rightarrow x > \frac{1}{2}
\end{cases}[/tex3]

[tex3]\frac{1}{2}<x<\frac{7}{3}[/tex3]

Numerador e denominador negativos:

[tex3]\begin{cases}
-3x+7<0 \rightarrow x > \frac{7}{3}\\
2x-1>0\rightarrow x < \frac{1}{2}
\end{cases}[/tex3]

Esse caso é impossível.

Então a resposta fica:

[tex3]\frac{1}{2}<x<\frac{7}{3}[/tex3]