IME / ITA ⇒ (ITA - 1971) Análise Combinatória: Permutações Simples Tópico resolvido

[triplebig]

Dispomos de seis cores diferentes.
Cada face de um cubo será pintada com uma cor diferente, de forma que as seis cores sejam utilizadas. De quantas maneiras isto pode ser feito, se uma maneira é considerada idêntica à outra, desde que possa ser obtida a partir desta por rotação do cubo?

[claudiomarianosilveira]

Para essa questão me passaram as seguintes resoluções:

Suponha que você queira pintar uma caixa quadrangular sem tampa dispondo de 5 cores.A primeira parte a ser pintada será o fundo, ou seja existem 5 possibilidades de cores para o fundo,tendo restado 4 cores para 4 lados.A maneira mais pratica de encontra o numero de possibilidades para pintar os lados é com permutação circular de 4, logo o numero de maneiras possíveis de pintar a caixa é 5x3!=30.Agora imagine a caixa quadrangular sem tampa como sendo um cubo pintado de 6 cores considerando que sem tampa=cor branca(por exemplo) uma vez que uma maneira é considerada idêntica a outra , desde que possa ser obtida a partir desta por rotação do cubo.
Leonardo Mattos
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Oi para todos !

Vamos achar em quantas posições diferentes o cubo pode se encontrar:
-Primeiro vamos enumerar as faces de 1 a 6.
-Com a face 1 voltada para baixo temos 4 posições que são rotações de 90º do cubo.
-Analogamente temos 6.4 = 24 posições diferentes para o cubo O nº de possibilidades de pintura para o cubo, quando a posição dele importa é 6! = 720
O nº de formas que o cubo pode ser pintado é 720/24 = 30 possibilidades

Essa é a resolução segundo o usuário ALDRIN.

Abraço!!

[SBAN]

Sei que já responderam essa questão. Mas, vou deixar aq no site minha contribuição. Porque eu odeio esse tipo de questão e cai direto na segunda fase e nos livros tradicionais não tem nenhum bizu para responder essa questão. então vamos lá


Vc tem 6 cores para colorir 6 lados do cubo. cada lado tem que ser diferente. Então temos 6! possibilidades ou seja 720 casos. porem esse cubo safado pode rotacionar. o que faz algumas combinações serem identicas.

para saber o número de combinações pegamos o números de casos sem rotação e dividimos pelo número de rotações. Mas, ai vem a pergunta. como sabemos o número de rotações? Bem facinho. o número de rotações segundo a teoria dos grupo é 2 vezes o número de arestas do objeto geometrico
3d

Como o Cubo tem 12 arestas o número de rotação é 24 temos o total de

[tex3][tex3]\frac{720}{2\times 12} = \frac{720}{24}=\boxed{30}[/tex3][/tex3] casos

Formula geral [tex3][tex3]\frac{Número~de ~casos~sem ~rotacao}{2\times numero~de ãrestas~da ~figura ~3d}[/tex3][/tex3]

O ita adora esse tipo de problema então leva isso no bolso