Pré-Vestibular ⇒ (Osec-SP) Função quadrática

[napolyana]

Bom dia!

Alguém poderia me ajudar ?

Qual o valor de K para que a função quadrática f(x) = x²-2x+k tenha o valor mínimo de 1 ?

Desde já agradeço a atenção.

[Auto Excluído (ID:17092)]

Vamos deduzir tudo e encontrar a solução:
Seja [tex3]ax^2 + bx+ c = 0[/tex3] (a [tex3]\neq[/tex3] 0)
Igualando a forma fatorada da função quadrática:
[tex3]ax^2 + bx + c = a(x-x_1)(x-x_2)[/tex3] : (a)
[tex3]x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = (x - x_1)(x-x_2)[/tex3]
[tex3]x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = x^2 - (x_1+x_2)x + x_1x_2[/tex3]
Notamos por comparação que:
[tex3]\frac{b}{a} = -(x_1+ x_2)[/tex3] => [tex3]x_1+x_2 = \frac{-b}{a}[/tex3] (SOMA)
[tex3]\frac{c}{a} = x_1x_2[/tex3] => [tex3]x_1 x_2 = \frac{c}{a}[/tex3] (PRODUTO)
Denominamos as igualdades encontradas como relações de Girard. De Girard, nós podemos deduzir duas igualdades mais práticas que permitem calcular - na maioria dos casos - o valor de raízes fracionárias*:
Da soma:
[tex3]x_1+x_2 = \frac{-b}{a}[/tex3] => [tex3]ax_1 + ax_2 = - b[/tex3]
Do produto:
[tex3]x_1x_2 = \frac{c}{a}[/tex3] => [tex3]ax_1x_2 = c[/tex3] x(a) => [tex3]ax_1 ax_2 = ac[/tex3]
De toda explanação só iremos querer a relação da SOMA de raízes porque ela carrega uma relação com Xv:
[tex3]x_1+x_2 = \frac{-b}{a}[/tex3] (SOMA)
Xv = [tex3]\frac{x_1 + x_2}{2}[/tex3] => Xv = [tex3]\frac{\frac{-b}{a}}{2}[/tex3] => Xv = [tex3]\frac{-b}{2a}[/tex3] (I)
Com o último resultado podemos encontrar a relação para Yv:
y = [tex3]ax^2 + bx + c[/tex3]
Sendo y = Yv e x = Xv = [tex3]\frac{-b}{2a}[/tex3]:
Yv = [tex3]a(\frac{-b}{2a})^2 + b(\frac{-b}{2a}) + c[/tex3] => Yv = [tex3]\no{a}\left(\frac{b^2}{4a^{\no{2}^1}}\right) -\frac{2}{2}\cdot \frac{b^2}{2a}+\frac{4a}{4a}\cdot c[/tex3] => Yv = [tex3]\frac{b^2 - 2b^2 +4ac}{4a}[/tex3] => Yv = [tex3]\frac{-(b^2 - 4ac)}{4a}[/tex3] (II)
Até o momento, nós encontramos as relações para encontrar o ponto V(Xv,Yv). Ainda é necessário, antes de prosseguir, relembrar quando temos ponto de máximo e de mínimo para uma função quadrática:
Seja [tex3]ax^2 + bx+ c = 0[/tex3] (a [tex3]\neq[/tex3] 0)
Quando a > 0, nós temos um ponto de mínimo.
Quando a < 0, nós temos um ponto de máximo.

Com (I), (II) e o conhecimento de ponto de mínimo:
[tex3]f(x) = x^2 - 2x + k[/tex3]
O Xv vale:
Xv = [tex3]\frac{-b}{2a}[/tex3] => Xv = [tex3]\frac{-(-2)}{2\cdot1}[/tex3] => Xv = 2/2 => Xv = 1.
Para o Yv:
Yv = [tex3]\frac{-(b^2 - 4ac)}{4a}[/tex3] => Yv = [tex3]\frac{-((-2)^2 - 4\cdot1\cdot k)}{4\cdot1}[/tex3] => Yv = [tex3]-1 + k[/tex3]
Encontramos que Yv = [tex3]-1+ k[/tex3], mas sabemos também f(Xv) = 1. Logo, o valor de k será:
Yv = -1+ k => 1 = -1 + k => k = 2.
Sendo k = 2, nossa função quadrática ganha a seguinte cara:
[tex3]f(x) = x^2 - 2x + 2[/tex3]
*Dica do Professor Demóclis Rocha. No canal do professor tem um vídeo com exemplos do método.

[napolyana]

Obrigada Bernoulli. Irei absorver as informações que você me enviou. Todas as informações que você me passou são úteis mas acredito que a parte principal está no calculo das coordenas do vértice,o ponto mínimo e o ponto máximo como você se referiu e explicou brilhantemente. Muito obrigada.