Pré-Vestibular ⇒ (Simulado BERNOULLI) Divisores

[gueucr]

Após o professor Flávio ensinar como se determina o número de divisores inteiros de um número natural, propôs um desafio para seus alunos. O desafio consistia em descobrir quantos divisores inteiros o número x=2² * 6 * 10 * a * 15 possui. A única informação adicional fornecida foi que a é um número primo maior que 5. Com essas informações, cinco alunos se manifestaram e responderam ao questionamento do professor. Cada um deles encontrou uma resposta diferente:

- Pedro: o número x tem 24 divisores inteiros
- Márcia: o número x tem 48 divisores inteiros
- Gustavo: o número x tem 64 divisores inteiros
- Carlos: o número x tem 90 divisores inteiros
- Camila: o número x tem 180 divisores inteiros

O único aluno que acertou o questionamento foi?

[paulo testoniMOD]

Hola.

[tex3]x=2^2 * 6 * 10 * a * 15\\
x=2^2*2*3*2*5*a*3*5\\
x= 2^4*3^2*5^2*a^1\\
x=(4+1)*(2+1)*(2+1)*(1+1)\\
x=5*3*3*2\\
x=90, \,Carlos[/tex3]

[Auto Excluído (ID:17092)]

Creio que é assim:
[tex3]X = 2^2\cdot 6\cdot10\cdot a\cdot15[/tex3] => [tex3]X = 2^4\cdot3^2\cdot5^2\cdot a^1[/tex3]
[tex3]X = 2^{\begin{matrix}
4\\
3 \\
2\\
1\\
0\\
\end{matrix}}\cdot3^{\begin{matrix}
2\\
1\\
0\\
\end{matrix}}\cdot5^{\begin{matrix}
2\\
1\\
0\\
\end{matrix}}\cdot a^{\begin{matrix}1\\0
\end{matrix}}[/tex3]
Usando o Princípio Fundamental da Contagem, nós temos:
[tex3](4+1)\cdot(2+1)\cdot(2+1)\cdot(1+1) = d[/tex3] => [tex3]d = 90[/tex3]
A sacada está em "divisores inteiros", então quer dizer que consideramos os números negativos. Logo, nós temos os divisores positivos e negativos para o número X:
[tex3]d_{pos.} + d_{neg.} = d_{total}[/tex3]
Sendo [tex3]d_{pos.} = d_{neg.} = d[/tex3]:
[tex3]d_{total} = 90 + 90[/tex3] => [tex3]d_{total} = 180[/tex3]

[petrasMOD]

Realizando as operações ficaremos no numerador com 3600.a

3600 = [tex3]2^{4}[/tex3] . [tex3]3^{2}[/tex3] . [tex3]5^{2}[/tex3] . [tex3]a^{1}[/tex3]

A quantidade de Divisores de um Número Natural é dada pela multiplicação dos expoentes adicionados em uma unidade a cada um deles.

Portanto (4+1) . (2+1) . (2+1) . (1+1) = 90 divisores. Portanto Carlos acertou.

[petrasMOD]

Bernoulli tem razão. Como não foi mencionado inteiros positivos mas apenas DIVISORES INTEIROS, os inteiros negativos também devem entrar.
Portanto 90 x 2 =180 divisores inteiros.