(Olimpíada do Pará - 2000) Geometria Plana

Olimpíadas ⇒ (Olimpíada do Pará - 2000) Geometria Plana Tópico resolvido

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Gu178 Offline: Mensagens: 260; Registrado em: 12 Ago 2014, 18:55; Agradeceu: 159 vezes; Agradeceram: 17 vezes

Nov 2016 01 14:20

(Olimpíada do Pará - 2000) Geometria Plana

Mensagempor Gu178 » 01 Nov 2016, 14:20

Mensagem por Gu178 » 01 Nov 2016, 14:20

Se ABCD é um retângulo com AB=10, CB=4 e AE=EB, qual a área do triângulo OCM?

Resposta

[tex3]3\frac{1}{3}[/tex3]

Editado pela última vez por Gu178 em 01 Nov 2016, 14:20, em um total de 1 vez.

Gu178

undefinied3 Offline: Mensagens: 1482; Registrado em: 02 Ago 2015, 13:51; Agradeceu: 104 vezes; Agradeceram: 1217 vezes

Nov 2016 01 14:33

Re: (Olimpíada do Pará - 2000) Geometria Plana

Mensagempor undefinied3 » 01 Nov 2016, 14:33

Mensagem por undefinied3 » 01 Nov 2016, 14:33

O retângulo tem área 40, enquanto o triângulo ACB tem área 20.
Ainda no triângulo ACB, note que OB e CE são medianas, logo M é o baricentro.
Como medianas dividem um triângulo em outros 2 de mesma área, o triângulo BOC terá área 10.
Agora, do fato que o baricentro divide a mediana na razão 2:1, veja que BM=2MO. Sabendo disso, no triângulo BOC, perceba que os outros dois triângulos OMC e MCB compartilham da mesma altura, então o que irá definir a área deles é a base. No caso, como visto, BM=2MO, então a área de MCB será o dobro de OMC. Como as duas áreas juntas corresponde a 10 unidades, então é fácil ver que OCM terá área [tex3]\frac{10}{3}[/tex3]

Editado pela última vez por caju em 11 Jul 2025, 18:05, em um total de 2 vezes.
Razão: tex --> tex3

Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.

undefinied3

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Primeira Postagem

matbatrobin

Na figura a seguit ABCD é um retângulo e DAE e EBF são isósceles. a) Determine a medida do ângulo [tex3]D\hat{E}F[/tex3]
b) Para [tex3]F{D}C=24^{\circ}[/tex3], calcule [tex3]D\hat{F}E[/tex3]
c) Sendo BF=y e FC=x, calcule o prímetro de ABCD.

Últ. msg

triplebig

Seja [tex3]\angle DEF = \alpha[/tex3] .

a) Como a soma dos ângulos de uma reta deve ser de [tex3]180^\circ[/tex3] :

[tex3]45^\circ+\alpha+45^\circ=180\Leftrightarrow \alpha=90^\circ[/tex3]

b) Se [tex3]\angle FDC=24^\circ[/tex3] , então...
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Primeira Postagem

Auto Excluído (ID:17906)

Determine todos os restos possíveis dá divisão do quadrado de um número primo de 120 por 120.

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LKBraga

Vamos lá, achando os divisores de 120 =[tex3]2^{3}[/tex3].[tex3]3^{1}[/tex3].[tex3]5^{1}[/tex3]
Para ser um numero primo de 120, os números não podem ter 2,3 e/ou 5 em sua fatoração, restando assim apenas 7 e seus quadrados, cubos etc.(Como ele quer...
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Auto Excluído (ID:20808)

Prove que [tex3]\frac{2001}{2}-\frac{2000}{3}+\frac{1999}{4}-\frac{1998}{5}+...-\frac{2}{2001}+\frac{1}{2002}=\frac{1}{1002}+\frac{3}{1003}+\frac{5}{1004}+...+\frac{2001}{2002}[/tex3]

Últ. msg

Vinisth

Agora que me deparei que o dono do tópico deletou o perfil. Vou terminar a solução, neste caso. Para que outras pessoas vejam
[tex3]2003\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\cdots-\frac{1}{2001}+\frac{1}{2002}\right)-1=[/tex3]
...
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Auto Excluído (ID:20808)

Quando a, b e c são os três números racionais [tex3]\frac{1}{2}, \ \frac{1}{3} \ e \ \frac{1}{5}[/tex3], o valor de:

\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}=...

Últ. msg

Winston

Seja [tex3]x = (a-b), y=(b-c),z=(c-a)[/tex3]

[tex3]\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} = \frac{y^2 + x^2}{x^2y^2} + \frac{1}{z^2} = \frac{x^2z^2 +x^2y^2 + y^2z^2}{x^2y^2z^2} = [/tex3]

\frac{x^2(z^2 + y^2) + y^2z^2}{x^2y^2z^2} =...
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Primeira Postagem

dylanchan0910

Se xyz•(x+y+z)=1, prove que ((x^2+1/y^2)•(y^2+1/z^2)•(z^2+1/x^2))^(1/2)=(x+y)•(y+z)•(z+x).
Pessoal, eu achei essa questão muito difícil. Alguém para resolve-la?
Obrigado

Últ. msg

Anonymous

[tex3](x+y) = (x+y+z - z) = (x+y+z)-z[/tex3]

chame [tex3](x+y+z) =s[/tex3]

temos do lado direito:

[tex3](s-z)(s-x)(s-y) = s^3 - s^2(x+y+z) + s(xy+yz+xz) - xyz = s^3 - s^3 + s(xy+yz+xz) - xyz [/tex3]
[tex3]= s(xy + yz + xz) - xyz = sxyz(\frac1x + \frac1y+\frac1z) - xyz[/tex3]...
dylanchan09102Auto Excluído (ID:12031)1: 2 Resp.; 1156 Exibições; Últ. msg por Anonymous
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