Ensino Médio ⇒ Progressão Geométrica: Soma dos n Primeiros Termos

[daniloesteves1]

Seja [tex3]f[/tex3] uma função real que satisfaz as seguintes propriedades:

I. [tex3]f(0) = 1[/tex3];
II. [tex3]0 < f(1) < 1[/tex3];
III. [tex3]f(x+y) = f(x)f(y), \forall x, y \in \mathbb{R}[/tex3]

Então, a expressão [tex3]f(0) + f(1) + f(2) + f(3) +...+ f(9)[/tex3] é equivalente a:

a) [tex3]\frac{[f(1)]^9-1}{f(1) - 1}[/tex3]

b) [tex3]\frac{[f(1)]^{10}-1}{f(1) - 1}[/tex3]

c) [tex3]\frac{[f(1)]^9-f(1)}{f(1) - 1}[/tex3]

d) [tex3]\frac{[f(1)]^{10}-f(1)}{f(1) - 1}[/tex3]

[triplebig]

Resposta

---

[tex3]\hspace{73pt}f(0)\, +\, f(1)\, +\, f(2) \,+\, f(3) \,+\,...\,+\, f(9)\,[/tex3]


[tex3]\hspace{48pt}=\,f(0)\, + \,f(1)\, +\, f(1+1)\, +\, f(1+1+1) \,+\,...\,[/tex3]


[tex3]\hspace{48pt}=\,1\,+\,f(1)\,+\,f(1)f(1)\,+\,f(1)f(1)f(1)\,+\,...\,[/tex3]


[tex3]\hspace{48pt}=\,1\,+\,f(1)\,+\,f(1)^2\,+\,f(1)^3\,+\,...\,+\,f(1)^9[/tex3]


Da fórmula de somas dos [tex3]n[/tex3] primeiros termos de uma PG, com [tex3]a_1\,=\,1[/tex3] , [tex3]n\,=\,10[/tex3] e [tex3]q\,=\,f(1)[/tex3]:


[tex3]\hspace{50pt}S_n\,=\,\Large\frac{a_1\,\cdot\,(q^n\,-\,1)}{q\,-\,1}[/tex3]


[tex3]\hspace{75pt}=\,\Large\frac{1\,\cdot\,[f(1)^{10}\,-\,1]}{f(1)\,-\,1}[/tex3]


Se nada estiver errado, Letra [tex3]\boxed{B}[/tex3] de bacalhau.