Ensino Médio ⇒ Demonstração: Área do Triângulo | Fórmula de Herão Tópico resolvido

[nanaahm]

Como se prova a expressão de área de triângulo [tex3]\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}[/tex3]

[cajuADMIN]

Olá nanaahm,

Vamos começar com a figura do triângulo genérico a ser utilizado na demonstração:

F78.jpg (7.23 KiB) Exibido 21524 vezes

O primeiro passo é encontrar o valor de [tex3]\cos\hat{a}[/tex3]. Para isso, vamos aplicar pitágoras no triângulo AHB para encontrar o comprimento de [tex3]\overline{AH}[/tex3].

[tex3]c^2=h^2+(\overline{AH})^2[/tex3]

[tex3](\overline{AH})^2=c^2-h^2[/tex3]

[tex3]\overline{AH}=\sqrt{c^2-h^2}[/tex3]

Assim:

[tex3]\cos\hat{a}=\frac{\sqrt{c^2-h^2}}{c}[/tex3]

Agora, utilizando o triângulo ABC, aplicamos a lei dos cosenos relativa ao ângulo [tex3]\hat{a}[/tex3]

[tex3]a^2=b^2+c^2-2bc\cos\hat{a}[/tex3]

Substituímos o valor de [tex3]\cos\hat{a}[/tex3]

[tex3]a^2=b^2+c^2-2bc\frac{\sqrt{c^2-h^2}}{c}[/tex3]

[tex3]a^2=b^2+c^2-2b\sqrt{c^2-h^2}[/tex3]

Agora isolamos o valor de [tex3]h^2[/tex3] e encontramos:

[tex3]2b\sqrt{c^2-h^2}=b^2+c^2-a^2[/tex3]

[tex3]\sqrt{c^2-h^2}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2b}[/tex3]

[tex3]c^2-h^2=\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2b}\right)^2[/tex3]

(1) [tex3]h^2=c^2-\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2b}\right)^2[/tex3]

Agora guardamos esta equação e pensamos na área do triângulo:

[tex3]A=\frac{b\cdot h}{2}[/tex3]

Elevamos ambos os lados ao quadrado:

(2) [tex3]A^2=\frac{b^2\cdot h^2}{4}[/tex3]

Agora substituímos o valor de (1) em (2) e chegamos em:

[tex3]A^2=\frac{b^2\cdot\left[c^2-\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2b}\right)^2\right]}{4}[/tex3]

[tex3]A^2=\frac{b^2\cdot c^2-b^2\cdot\frac{(b^2+c^2-a^2)^2}{4b^2}}{4}[/tex3]

[tex3]A^2=\frac{4b^2\cdot c^2-(b^2+c^2-a^2)^2}{16}[/tex3]

[tex3]A^2=\frac{(2bc)^2-(b^2+c^2-a^2)^2}{16}[/tex3]

Agora podemos aplicar a fórmula da diferença de dois quadrados, que é [tex3]x^2-y^2=(x+y)(x-y)[/tex3]

[tex3]A^2=\frac{[2bc-(b^2+c^2-a^2)]\cdot[2bc+(b^2+c^2-a^2)]}{16}[/tex3]

[tex3]A^2=\frac{[-(b^2-2bc+c^2)+a^2]\cdot[(b^2+2bc+c^2)-a^2]}{16}[/tex3]

[tex3]A^2=\frac{[a^2-(b-c)^2]\cdot[(b+c)^2-a^2]}{16}[/tex3]

Novamente a diferença entre quadrados:

[tex3]A^2=\frac{(a-(b-c))\cdot(a+b-c)\cdot(b+c-a)\cdot(b+c+a)}{16}[/tex3]

[tex3]A^2=\frac{(a-b+c)\cdot(a+b-c)\cdot(b+c-a)\cdot(b+c+a)}{16}[/tex3]

[tex3]A^2=\frac{(a-b+c)}{2}\cdot\frac{(a+b-c)}{2}\cdot\frac{(b+c-a)}{2}\cdot\frac{(b+c+a)}{2}[/tex3]

Agora, fazemos aparecer o [tex3]p=\frac{a+b+c}{2}[/tex3]

[tex3]A^2=\frac{(a+b+c-2b)}{2}\cdot\frac{(a+b+c-2c)}{2}\cdot\frac{(a+b+c-2a)}{2}\cdot\frac{(a+b+c)}{2}[/tex3]

[tex3]A^2=\left(\frac{a+b+c}{2}-b\right)\cdot\left(\frac{a+b+c}{2}-c\right)\cdot\left(\frac{a+b+c}{2}-a\right)\cdot\left(\frac{a+b+c}{2}\right)[/tex3]

Então é só substituir [tex3]p=\frac{a+b+c}{2}[/tex3]

[tex3]A^2=(p-b)\cdot(p-c)\cdot(p-a)\cdot p[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{\Large{A=\sqrt{(p-b)\cdot(p-c)\cdot(p-a)\cdot p}}}}[/tex3]